Aussagen überprüfen (Zykel, Untergruppen...)

Question

Es sei \(n \in \mathbb{N}_0 \) gegeben. Sind die folgenden Aussagen stets wahr?

a) Für jeden Zykel \(\zeta \in S_n\) ist \([1, n] / {\zeta} \) einelementig. (S = SymmetricGroup)

b) Es ist \( \{\pi \in S_n | sgn \pi = - 1 \} \) eine Untergruppe von \(S_n\).

c) Wenn \(n \geq 4\) ist, dann ist \( \{ id_{[1, n]}, (1, 2, 3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 3, 2) \}\) eine Untergruppe von \(S_n\).

d) Für alle \(j \in [1, n]\) ist \( \{ \pi \in S_n]{\pi(j) \neq j}\) eine Untergruppe von \(S_n\).

Ich soll nur bestimmen, ob es die Aussagen wahr sind oder nicht.

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Comments

Die Notation in der a) ist wohl unüblich. Was soll das bedeuten?

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Wenn du dieses Symbol meinst: ζ --> das ist Zeta (griesch. Alphabet) Ich würde sagen, dass es nur ein Platzhalter ist.

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Nein, das meine ich nicht. Ein Buchstabe ist auch keine Notation. Und als Platzhalter würde ich das nicht bezeichnen, das ist eine Bennung/Bezeichnung.
Nein, was bedeutet \( [1,n]/\zeta \) ?

Answer 1

b) kann nicht stimmen, denn sign (π ° π) = sign(π) * sign(π) = (-1)*(-1) = 1.

Das heisst schon die Verknüpfung einer Permutation mit sich selbst hat nicht mehr das Signum (-1).

Die Forderung, dass Gruppen bezüglich Verknüpfung abgeschlossen sind, ist nicht erfüllt. Daher ist die angegebene Menge keine Gruppe und auch keine Untergruppe von S_(n).

d) kann auch nicht stimmen, da das neutrale Element einer Verknüpfungsgruppe jedes Element sich selbst zuordnen muss.

π(j) = j für alle Elemente von S_(n) muss somit eine Permutation sein, die in der Untergruppe liegt.

c)

Führe (1,2,3,4) zwei mal nacheinander aus.

1234      |nächste Zeile: Bildpunkte

2341     | nochmals eins weiter

3412

Nun schaue, wie man von der ersten zur 3. Zeile kommt.

Dafür sind 2 Zykeln nötig.

(13)(24).

Da diese Permutation nicht in der angegebenen Menge liegt, ist diese keine Untergruppe von S_(n).

EDIT: Die Notation von a) kenne ich nicht. Ausserdem hoffe ich, dass jemand b), c) und d) noch kritisch anschaut und gegebenenfalls korrigiert.