stimmt mein Ergebnis? Reihe auf Konvergenz untersuchen

Question

$$ \sum _{n=1}^{\infty}{\left( \frac { n+1 }{ 9n }  \right)^n } $$
\( \lim_{n\to\infty}\sqrt [ n ]{ |a_n| }\\ \sqrt [ n ]{{\left( \frac { n+1 }{ 9n }  \right)^n } }={\left( \frac { n+1 }{ 9n }  \right) }=\lim_{n\to\infty}\frac { n(1+\frac { 1 }{ n }) }{ n(9+\frac { 0 }{ n }) }=\frac { 1 }{ 9 } \)

Die Reihe Konvergiert, da 1/9<1 ist :)

Ich habe auch paar Schritte beim Wurzel vereinfachen mittels Potenzgesetzen weg gelassen, weil das sonst so anstengend wäre :(

aber ihr wisst ja wie ich darauf gekommen bin :)

Aber eine Frage..Wurzelkriterium sagt ja nur aus, ob die  Reihe konvergiert oder Divergiert oder das Kriterium versagt manchmal, aber das sagt ja nicht gegen welchen Grenzwert sie konvergiert..und wie kann ich das berechnne? Indem ich z.B. bis zum 5 Glied berechne? aber dann?

bzw. das ist doch eine Folge? oder?

Answer 1

Hi Emre,

das ist soweit richtig. Zumindest bis zum letzten Satz. Wir haben eine Reihe, keine Folge.

Mit dem Wurzelkriterium kannst Du in der Tat nur Konvergenz nachweisen, aber nicht den Wert der Reihe bestimmen. Dafür würde man dann bspw. auf bekannt Reihen zurückführen (geom. Reihe etc.).

Grüße

Comments

jaaaaaaaaaaaaaaaaa Unknwown wieder da :)

ja mein letzter satz ich meinte, dass nur (n+1)/9n eine Folge ist :)

hmm ok soweit will ich nicht gehen^^ aber wenigstens kann paar reihen auf konvergenz untersuchen :)

Danke für deine Hilfe :)

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@Emre: Kannst du mir mal in einem Satz erklären was man unter einer Reihe oder Folge versteht?^^

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Hey Simon

weißt Dus, oder willst Du mich testen?^^

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Ich weiß es nicht ;) Ist ja auch kein Schulstoff, oder?^^

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Nein soweit ich es weiß, ist es kein Schulstoff, aber hier meine Erklärung (wie ich es glaube)

Also erklären kann ichs nicht^^ aber was es ist und wozu es auch ist, weiß ich^^

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Was ist es und wofür braucht man das? Das liest man hier so oft, vll. kann ich mir dann in Zukunft was drunter vorstellen^^ Schieß los ;)

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Ok (Ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist, was ich sage)

Also Reihen verwendet man ja auch, z.B. die Eulersche Zahl e zu nähren, oder die Zahl pi, oder oder oder komplexe Zahlen...Du kannst zb eine trigonometrische Funktion mit einer Fourierreihe approximieren

oder zb in der Wirtschaft oder so.........soo viele Anwendungsbereiche ........... das war jetzt grob, was mir dazu einfällt

oder die taylorreihe...damit kannst du belibige funktionen an einer Stelle x₀=y approximieren, also falls die funktion zu komplex ist, kannst du sie durch eine einfachere funktion an dieser Stelle x₀ annäheren :) und diese dann als eine reihe aufschreiben ...

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Danke für den kurzen Überblick ;)

Du beschäftigst dich dann mittlerweile schon mit Uni-Aufgaben, oder?

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ich weiß nicht ob das uni aufgaben sind, also ich will dir jetzt nicht falsches sagen :)

aber ich sag einfach mal ja, ganz klein bisschen, wenn mir lw ist und wenn ich in Mathe in der Schule gut zuerecht komm und 15P in Mathe schreibe ^^

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Wahnsinn!^^ Das benötigt ja nicht nur eine kleine Portion von Ehrgeiz ;) Zurzeit beschränke ich mich "nur" auf die Schularbeit, wenn das Fachabi rum ist, kümmere ich mich wieder um Physik bis es in der 13. wieder Vollgas weiter geht :D

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Eigentlich ist das, was Du machst das richtige!! :) Ja, dann vollgaasssss in Physik bei dir^^

Ich will mich auch nur auf die Schulmathematik beschränken, aber mein Interesse ist so groß...deshalb muss ich manchmal so paar einfache aufgaben machen:(

aber wenn wieder die Schule anfängt, beschränke ich mich auch wieder auf die Schulmathemaitk. Ich bin ja schon sehr viel weiter als meine Mitschüler^^ (Dank GMF)

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Ja, also ich kann dir sagen, dass die 12. vom Aufwand her nochmal ein Stück höher ist als die 11. Vor allem in BWR musst du üben, rechnen und buchen ;) Dazu kommen viele Projekte ( Sei es eine Planfirma in Englisch oder ein Romanprojekt in Deutsch, Fachreferat,...). Also 4-5 Stunden mache ich schon am Tag was für die Schule^^. Wird denke ich aber auch mit 1,X im Zwischenzeugnis belohnt ;)

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Wenn du was machen willst, was etwas mehr mit Schulmathematik zu tun hat, kannst du ja mal versuchen die Funktionsgleichung der Geraden \(t\) zu finden, die eine Tangente an \(f(x)=-(x+2)^2\) und gleichzeitig eine Tangente an \(g(x)=2-(x-2)^2\) ist.

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@Simon: Uhh ja dann wird nur noch für die Schule gelernt ^^ aber ja das sollte machbar sein :)

@LC: Kann ich ich Morgen dran versuchen? Ich bin gleich im Bett, da Morgen Praktikum ist^^ Ist es egal an welchem Punkt?

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Das kannst du machen, wann du willst, sollte nur eine Anregung sein :)

Du wirst feststellen, dass du bei den Punkten nicht allzu viel Auswahl hast ;)

Beachte, dass \(t\) gleichzeitig an beiden Funktionen eine Tangente sein soll. Mal dir das einfach mal auf, \(f,g\) habe ich ja, weil ich so unglaublich nett bin, schon in einer Form angegeben, in welcher man sofort sieht wie die Graphen aussehen

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ja Danke :) (ich würde mich freuen, wenn Du mir öfters Aufgaben gibst) :)

Ok, wenn es an beiden sein soll, dann an den Scheitelpunkten??

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Wie gesagt, mal dir das erst mal auf. Dann siehst du auch, dass dieser Vorschlag nicht funktioniert

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Ja, Du hast doch die Funktionen in der Scheitelpunktform angegeben :)

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Wie gesagt, zeichne es mal auf. Die Scheitelpunkte liegen auf unterschiedlicher Höhe, also wirst du keine Gerade finden, die die Funktionen dort tangiert, sprich horizontal verläuft (weil Steigung 0). Ich rechne es morgen mal selbst aus und stell die Lösung hier rein dann kannste es so lange probieren, bis dus richtig hast^^

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Ich bin leider Morgen erst ab 17:00 Uhr wieder zuhause..... deshalb lass dir Zeit. Ich schaff das schon :)

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@LC: Was ist das für eine Aufgabe?? Das hat mein Leben komplett kaputt gemacht :(

ich meine die Gerade wäre ja 3/0,29x oder????????????

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Kann ich die Funktionen nicht gleichsetzen und über die gemeinsamen Schnittpunkte, sofern vorhanden, die Geradengleichung bestimmen?

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Genau das gleiche habe cih auch gemacht, aber war dann frustruiert ^^

und  wollte es später machen^^ Aber die Idee hatte ich auch^^

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Kannst du mal eine Zeichnung rein stellen? Bei dir geht das doch schnell^^.

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ja klar hier :)

den Schnittpunkt habe ich und die Gerade kann ich  auch bestimmen :)

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Wie hast du die Gerade bestimmt?

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ein moment :) bin grad dabei ^^

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Das grüne Gerät, welches ich fachmännisch in das Bild eingefügt habe, ist \(t\). Es läuft im Wesentlichen darauf hinaus, \(a,b\) zu berechnen. Dazu muss man sich klarmachen, was bei \(a\) und \(b\) gilt. \(a\) ist die Stelle, an der die Gerade \(f\) tangiert und \(b\) die Stelle, an der die Gerade \(g\) tangiert. Als weiterer Hinweis sei noch gesagt, dass \(t(x)=mx+n\) für geeignete \(m,n\) ist und recht schöne Zahlen rauskommen sollten, wenn ich mich nicht vertan habe. 

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Boah was isn das für eine Aufgabe ^^

schaffst Du die?

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@LC: Faaaaaasssstt die iddee hatte ich doch auch am anfang? Aber nicht die gleiche :(

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Sind a und b die jeweiligen Scheitelpunkte? Nein, oder?

Wie komme ich dann auf und a und b?

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@Simon: Das frag ich mich nun auch^^

aber erstmal bin ich essen.

Das ist bestimmt einfach, aber ich häng halt iwo

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Naja deine Idee war ähnlich Emre, du wolltest irgendwas mit den Scheitelpunkten starten aber das geht ja schlecht, wie man am Bild sieht.

Nein, \(a,b\) sind offensichtlich nicht die Scheitelpunkte, das geht ja auch gar nicht, wenn man das Bild anschaut. Denn \(t\) ist ja an beiden Funktionen eine Tangente und am Scheitelpunkt ist ja die Steigung 0. Also hätte \(t\) dann einen Sprung. Man muss \(a,b\) nicht mal ausrechnen habe ich gerade gemerkt, es kürzt sich vorher schon alles weg, also bei der Berechnung von \(m\). Noch ein paar Tipps: Es gilt

$$ I.~m=f'(a),\quad II.~m=f'(b) $$

Gleichsetzen und nach \(a\) oder \(b\) auflösen. Die resultierende Gleichung muss man dann nur noch in eine Gleichung einsetzen, die ebenfalls \(m\) beschreibt in Abhängigkeit von \(a\) und \(b\). Aber die verrate ich net :)

Wenn man \(m\) hat, muss man nur noch \(n\) so wählen, dass \(t\) beide Funktionen gleichzeitig schneidet. Da braucht man dann wieder \(a,b\)

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Könnte ich theoretisch auch g(x) nehmen ?

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Oh sry muss man sogar, bei \(II.\) gilt nämlich \(m=g'(b)\), \(I.\) ist aber so wie oben.

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@LC: Kannst du das mal vorrechnen? oder soll ich das machen?