Implizites ableiten (1 und 2 Ableitung) x-y+3xy=2

Question

hallo zusammen

Ich hab ein Problem mit der folgenden Funktion, die ich durch implizites ableiten bestimmen sollte:

x-y+3xy=2

Ich habe diese abgeleitet -> 1-y'+3xy'+3y=0

Dann habe ich diese nach y' aufgelöst --> $$ y'=\frac { 1+3y }{ 1-3x } $$

Nun frage ich mich ob ich die abgeleitet Funktion irgendwo einsetzen muss, damit ich irgendeine Lösung erhalte?

Als nächstes habe ich dann die zweite Ableitung gemacht, die bei mir so aussieht:

$$ y''=\frac { 3y'(1-3x)-(1+3y)*-3 }{ (1-3x)^{ 2 } }  $$

Muss ich nun den Wert in der 1 Ableitung in die zweite für y' einsetzen? Wo mache ich den Fehler?

Vielen Dank

Answer 1

Dann habe ich diese nach y' aufgelöst -->

und dabei das x unter den Teppich gekehrt ...

Comments

mist, da ist mir ein Tippfehler unterlaufen sollte natürlich 1+3y/1-3x heissen. Kann ich das noch oben ändern?

---

pleindespoir kann es für dich ändern, aber Du nicht, da du kein Moderator bist. Du hast nur 5min Zeit es zu ändern, was schon vorbei ist :)

---

achso Danke Emre :)

@pleindespoir kannst du das bitte ändern?

---

Ich sehe gerade, dass pleindespoir kein Moderator ist. Ich bin aber Moderator..was soll ich denn ändern?

---

Das hier bitte einsetzten für y' , hatte im Nenner einen Tippfehler $$y'=\frac { 1+3y }{ 1-3x } $$

---

Ah ok also statt y ein x?

---

ja genau so wie auf meiner Nachricht

---

Ok ich habs geändert :)

---

Muss ich nun den Wert in der 1 Ableitung in die zweite für y' einsetzen? 

wäre praktisch

Wo mache ich den Fehler? 

welchen Fehler möchtest Du gerne machen ?

---

Ich möchte keinen Fehler machen!

in meiner Musterlösung steht bei y'=-5/(1-3x)^2.

Woher kommt dieses Ergebnis?

---

$$ y'=\frac { 1+3y }{ 1-3x } $$
$$y''=\frac { 3y'(1-3x)-(1+3y)*-3 }{ (1-3x)^{ 2 } }$$
$$y''=\frac { 3y'(1-3x)+3(1+3y) }{ (1-3x)^{ 2 } }$$
$$y''=\frac { 3\frac { 1+3y }{ 1-3x }(1-3x)+3(1+3y) }{ (1-3x)^{ 2 } }$$
$$y''=\frac { 3 ( 1+3y )\frac{ 1-3x }{1-3x}+3(1+3y) }{ (1-3x)^{ 2 } }$$
$$y''=\frac { 3 ( 1+3y )+3(1+3y) }{ (1-3x)^{ 2 } }$$
$$y''=6 \,\cdot \,\frac {  1+3y  }{ (1-3x)^{ 2 } }$$

das ist aber nicht die Antwort zu der Frage:

mit der folgenden Funktion, die ich durch implizites ableiten bestimmen sollte:

---

Vielen Dank, habe gerade einen "kürzfehler" bei mir entdeckt^^ beim einfügen von y'.Kannst du aber die Lösung "y'=-5/(1-3x)^2 " nachvollziehen? Da wurde doch die Lösung die ich bei y' erhalten habe irgendwie umgeformt bzw. irgendwo eingesetzt. Dieser "letzte" Schritt verwirrt mich komplett.

---

Die Funktion aufgrund ihrer impliziten Ableitung zu konstruieren sieht so aus:

$$ y'=\frac { 1+3y }{ 1-3x }   $$$$ \frac{dy}{dx}=\frac { 1+3y }{ 1-3x }   $$$$  \frac 1{ 1+3y }\frac{dy}{dx}=\frac { 1 }{ 1-3x }   $$$$ \int\, \frac 1{ 1+3y }\frac{dy}{dx} \, dx=\int \, \frac { 1 }{ 1-3x } \, dx  $$$$ \int\, \frac 1{ 1+3y }\, dy=\int \, \frac { 1 }{ 1-3x } \, dx  $$$$  \frac 13 \ln ({ 1+3y })=- \frac { 1 }3 \ln ( 1-3x )+C  $$$$  \ln ({ 1+3y })=-  \ln ( 1-3x )+C  $$$$  1+3y=e^{-  \ln ( 1-3x )+C } $$$$  1+3y=e^{-  \ln ( 1-3x ) }\cdot e^C $$$$  1+3y= \frac1{ ( 1-3x ) }\cdot e^C $$$$  3y= \frac{C^*}{ ( 1-3x ) }-1 $$$$  y= \frac{\frac{C^*}3}{ ( 1-3x ) }-\frac13 $$$$  y= \frac{C^{**}}{ ( 1-3x ) }-\frac13 $$

Verwirrung komplett ?

Die Musterlösung kann ich leider auch nicht nachvollziehen.

---

Die Musterlösung kann ich leider auch nicht nachvollziehen.

Wer's nicht implizit kann, macht's explizit oder löst nach y auf und setzt bei y' ein.

---

Definitiv! ^^

Woher kommt plötzlich das "C"?  Sieht sehr komplex aus...

Schade bezüglich der Musterlösung, ich danke dir aber trotzdem für deine Hilfe.

---

Das war ein Gag mit der DGL eben - vergiss das

$$ x-y+3xy=2  $$
$$ -y+3xy=2 -x $$
$$ -y(-1+3x)=2 -x $$
$$ y=\frac{x-2 }{3x-1} $$
$$ y'=\frac{(3x-1)-(x-2)\cdot 3 }{(3x-1)^2} $$
$$ y'=\frac{3x-1-3x+6 }{(3x-1)^2} $$
$$ y'=\frac{-1+6 }{(3x-1)^2} $$

wäre der Weg mit explizit ...

jetzt muss ich aber auch schauen, weshalb das implizit nicht dahinkommt

---

achso okay ^^

Die Lösung im expliziten Weg ist doch ähnlich wie die Musterlösung, nur der Nenner würde sich unterscheiden. Kann es sein, dass die im Nenner ein *(-1) integriert haben, damit die Lösung "schöner" aussieht?

---

jetzt muss ich aber auch schauen, weshalb das implizit nicht dahinkommt

Es kommt doch ganz genau dahin, wenn du berücksichtigst, dass  C**  (was eigentlich inzwischen C*** sein müsste)  den Wert  C** = 7/3  hat. Dieser Wert wiederum ergibt sich aus der rechten Seite "2" der ursprünglichen Gleichung.

---

$$ y(x)= \frac{C}{ ( 1-3x ) }-\frac13 $$
(Zeh ohne die vielen Sternchen der Überblicklichkeit halber) einsetzen in
$$    x-y+3xy=2 $$
$$    x- \frac{C}{ ( 1-3x ) }-\frac13+3x \left(\frac{C}{ ( 1-3x ) }-\frac13\right)=2 $$und dann nach Zeh auflösen, um dies wiederum in y(x) einzusetzen und die explizite Funktion zu erhalten.
Gibts noch einen komplizierteren Weg ?

---

wow trotzdem nun die Methode mit dem "C" ?
Wie dem auch sei, ich danke dir!

---

Kann es sein, dass die im Nenner ein *(-1) integriert haben, damit die Lösung "schöner" aussieht? 

wieherum die Differenz im Nenner steht, ist Banane, weil das doch quadriert wird.

Sorgen macht mir eher das Vorzeichen im Zähler - das ist im Muster negativ aber nicht bei mir ...

---

Kann es sein, dass es (2-x)*3 sein sollte und nicht (x-2)*3? Dann wäre die 6 negativ und man kommt auf die -5 im Zähler.

---

Da liegt der Wurm im Pfeffer:
$$ −y+3xy=2−x $$
$$ (-1+3x)y=2−x $$
oder war da der Hase begraben ?

---

Joa ich denke die Frage ist so beantwortet, das einzige was für mich unklar war, war das C.

Danke nochmal :)

---

Das C ist die Integrationskonstante infolge der Integration der Differentialgleichung.

Normalerweise ist man ja zufrieden, wenn man aus einer impliziten Funktion eine implizite Ableitung machen kann. Üblicherweise tritt das auf, wenn man mit der expliziten Form kein Land in Sicht bekommt.

Aus der impliziten Funktion zur expliziten aufzulösen ist kunstlos und üblicherweise nicht machbar, denn man steht ja vor der impliziten Form, weil die explizite nicht erreichbar ist. Hier war das zur Übung und Kontrollzwecken möglich.

Aus der impliziten Ableitung wieder die explizite zu basteln, geht mühevoll über einen DGL-Ansatz (aber auch nicht immer), den ihr vermutlich noch nicht durchgenommen habt. (UNI-Stoff oder fleissiger Mathe-LK)

In manchen Fällen ist das aber auch offensichtlich durch Kürzen zu erreichen, aber wenn das nicht freiwillig "hier " schreit, macht man das nicht.

Der originale Aufgabentext wäre hier hilfreich gewesen, um nicht so im Trüben zu stochern, was überhaupt gefragt war. Was ist denn mit der 2. Ableitung eigentlich ?

---

Die Aufgabe lautet ganz simpel " Bestimmen Sie y' und y'' durch implizites Differenzieren." Meine Ableitung war ja eigentlich korrekt, für mich war das Vorgehen unklar bezüglich der 2. Ableitung und der Musterlösung. Ich frage mich wieso im Buch zwei Lösungen stehen, wenn man die Funktion ja nur implizit ableiten sollte.

Die Frage hat sich ja nun geklärt :)

---

Retaf: Wenn du in der Frage schreibst, dass du die Funktion bestimmen sollst, heisst das, dass du y suchst und nicht y'.

Das hat sich nun aber geklärt.

---

Ich frage mich wieso im Buch zwei Lösungen stehen,

ich auch ... welche denn ?

---

@Lu Entschuldige bitte meinen Fehler.

@pleindespoir: Im Buch steht bei y'= 1+3y/1-3x = -5/(1-3x)^2

---

 y'= (1+3y)/(1-3x) hattest du ja praktisch schon selbst.

Wenn man die gegebene Gleichung noch nach y auflöst und y in y' einsetzt, kommt man dann auf

 y '= -5/(1-3x)² 

Vgl. pleindespoirs Rechnung.