Suche Kreis, welcher durch P(6/1) und Q(2/7) geht und Mittelpunkt auf g:3x+2y=7 hat.

Question

Der Kreis (mit all seinen Geheimnissen)

Ermittle die Gleichung jenes Kreises, welcher durch die Punkte P(6/1) und Q(2/7) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g:3x+2y=7 liegt!

bitte mit Rechenschritten

   danke

Answer 1

Man kann hier relativ einfach mit der Mittelsenkrechten arbeiten.

Hast Du die beiden Punkte P und Q verbinde die beiden und bestimme die Gerade. Dann den Mittelpunkt feststellen und die Normale bestimmen. Schnittpunkt mit Normale und Geraden g ist der Mittelpunkt. Nun noch den Radius bestimmen (Abstand Mittelpunkt zu P oder Q) und fertig sind wir ;).

 

Gerade f (zwischen P und Q) bestimmen - Gleichung mit den Punkten P und Q aufstellen:

1=6m+b

7=2m+b

Nach b auflösen und gleichsetzen:

1-6m=7-2m           |+6m-7

-6=4m                     |:4

-3/2=m

Damit in Gleichung 1: 1=6*(-3/2)+b -> b=10

Die Gerade f lautet also y=-3/2*x+10. Den Mittelpunkt noch bestimmen, damit wir die Mittelsenkrechte durchlegen können:

Differenz der Werte halbieren und dazuzählen/abziehen -> S(4|4)

Damit können wir nun die Normale zu f im Punkt S bestimmen ;).

Aus der Orthogonalitätsbedingung: m=2/3

4=2/3*4+b -> b=4/3

n(x)=2/3*x+4/3

 

Das nun mit der Geraden schneiden (g(x) zuvor nach y auflösen):

n(x)=g(x)

2/3*x+4/3=-3/2*x+7/2

-> x=1

Damit in g(x) -> y=2

Der Mittelpunkt des Kreises befindet sich also bei M(1|2).

 

Noch den Radius bestimmen -> Strecke MP -> Differenz der Werte die quadriert addiert werden müssen:

6-1=5

2-1=1

√(5²+1²)=√26

 

Folglich lautet die Kreisgleichung:

(x-1)²+(y-2)²=26

 

Grüße

Comments

Aus der Orthogonalitätsbedingung: m=2/3

4=2/3*4+b -> b=4/3

n(x)=2/3*x+4/3

 

Das nun mit der Geraden schneiden (g(x) zuvor nach y auflösen):

n(x)=g(x)

2/3*x+4/3=-3/2*x+7/2

-> x=1

Damit in g(x) -> y=2

ab da verstehe ich nicht wie sind sie auf das gekommen??

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Du meinst die Orthogonalitätsbedingung?

Es gilt die Beziehung der Steigungen zwischen Gerader und deren Normaler:

m_g·m_n=-1

Das nach m_n auflösen und m_g einsetzen und Du erhältst m=2/3 ;).

 

Grüße

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es tut mir wirklich leid aber ich verstehe es trotzdem nicht wo ist bei mir mg und mn

und wie kommen sie am schluss auf m=2/3

und es tut mir echt leid

danke für ihre Hilfe

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Wenn eine Gerade senkrecht auf einer anderen steht, dann gilt die Beziehung m_g·m_n=-1 bzgl ihrer Steigungen.

Dabei ist m_g die Steigung der Geraden und m_n die Steigung der Normalen. Die Steigung m_g ist bereits bekannt. Bleibt in dieser Gleichung also nur noch die eine Unbekannte m_n, welche wir dank obiger Bedingung bestimmen konnten.

Answer 2

Ermittle die Gleichung jenes Kreises, welcher durch die Punkte \(P(6|1)\) und \(Q(2|7)\) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden \(g: 3x+2y=7\) liegt!

Kreis um \(P(6|1)\) mit \(r_1\) als Radius:

\((x-6)^2+(y-1)^2=r_1^2\)

Kreis um \(Q(2|7)\) mit \(r_2\) als Radius:

\((x-2)^2+(y-7)^2=r_2^2\)

\(r_1^2=r_2^2\)

\((x-6)^2+(y-1)^2=(x-2)^2+(y-7)^2\)

\(x^2-12x+36+y^2-2y+1=x^2-4x+4+y^2-14y+49\)

\(-2x+3y=4\) Schnitt mit  \(  3x+2y=7\) ergibt den Mittelpunkt des gesuchten Kreises \(M(1|2)\)

Einsetzen \(M(1|2)\) ∈ \((x-6)^2+(y-1)^2=r_1^2\)  : \(26=r_1^2\)

Gesuchter Kreis:

\((x-1)^2+(y-2)^2=26\)