Wohldefinierte Funktion. Gegeben: f(x)= (x-3)^4-4 , f:D->[0, ∞)

Question

ich hätte mal eine Frage zu einer Aufgabe:
gegeben ist diese Funktion: f(x)= (x-3)⁴-4 , f:D->[0, ∞)

und ich soll zwei verschiedene Mengen als Definitionsbereich angeben, sodass mit D=D1 und D=D2 die Funktion wohldefiniert ist.
Jetzt habe ich mir gedacht: die funktion hat ja ihre Nullstellen inx1= 3+√2 und x2= 3-√2

desweiteren ist die ableitung: 4(x-3)³ und hat ihren Extrempunkt bei x=3  welcher zu gleich auch ein WP ist.

und da man einem y-wert wie z.b.  f(0) gleich 2 x werte zuweisen kann, liegt ja surjektivität vor, oder?somit komme ich auf die mengen:

Ist das richtig, oder hab ich mich da verhauen?

lG

Comments

Warum ist der Extrempunkt ein Wendepunkt?

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=4%28x-3%29^3 kann man hier gut sehen

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Und was soll man da sehen?

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Da sieht man, dass die einzige Stelle der Ableitungsfunktion mit Steigung 0 (horizontaler Tangente) eine Wendestelle ist.

Wegen dem Vorzeichenwechsel der Ableitung in x=3 hat die gegebene Funktion dort eine Extremalstelle.

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Extrempunkte sind keine Wendepunkte.

Answer 1

Mit den angebenen D1 und D2 ist f surjektiv und injektiv.

(Bei D1 allerdings noch eckige und runde Klammer tauschen)

Ist das das, was du bei "wohldefiniert" brauchst?

Comments

Na, D muss so beschaffen sein, dass f(D) ⊆ [0, ∞) gilt.

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Das wäre ja dann ok. Danke.

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Hallo Lu. Ich habe Probleme bei der Fragestellung.

Ist eine explizit angegebene Funktion

f(x) = ...

nicht immer wohldefiniert?

Tritt das Problem der Wohldefiniertheit nicht eigentlich nur bei implizit definierten Funktionen auf wie x^2 + y^2 = 1?

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Es ist hier nur die Funktionsvorschrift und der Wertebereich der Funktion angegeben. Also ist die Funktion zunächst einmal gar nicht definiert. Das soll nun nachgeholt werden.

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Also als Definitionsbereich der Funktion sind ja verschiedene Mengen möglich. Ich soll nun 2 unterschiedliche mengen angeben, damit die funktion wohldefiniert ist( D1 und D2). Mir fällt aber gerade auf, dass ich mit den beiden Bereichen aber nur einen Teilbereich der Funktion definiert, oder?

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Achso. Danke.

Also

(x - 3)^4 - 4 ≥ 0

x ≤ 3 - √2 ∨ x ≥ √2 + 3

D1 = ]-∞ ; 3 - √2]

D2 = [√2 + 3 ; ∞[

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"Mir fällt aber gerade auf, dass ich mit den beiden Bereichen aber nur einen "Teilbereich der Funktion" definiert, oder?"

Das war genau deine Aufgabe.

Du hattest da noch gar keine Funktion. Da D dir fehlte. 

Jetzt hast du wie verlangt 2 Funktionen definiert. Eine f(x)= (x-3)⁴-4 , f:D1->[0, ∞) und eine f(x)= (x-3)⁴-4 , f:D2->[0, ∞).

Eigentlich genügt es, wenn du die Nullstellen bestimmst, und dann Bereiche identifizierst, in denen die Funktion keine neg. Werte annimmt. 

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Man hätte aber eigentlich auch beliebige andere Teilmengen von D = D1 ∪ D2 nehmen können oder nicht?

Allerdings bietet sich ja die Unterteilung in D1 und D2 an.

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Mathecoach: Ja. Mich hatte nur das Wort 'surjektiv' in den Tags irritiert. Ich wusste nicht, ob das in der Fragestellung auch noch explizit gefordert war.