Formel einer Folge rekursiv bestimmen

Question

Ich habe die Folge (a_n)_n∈ℕ rekursiv durch

a₀ = 0, a_2n-1 = (1/3) + a_2(n-1) und a_2n = (1/3)*a_2n-1 , für n≥1

gegeben.

Meine Aufgabe ist es nun, den Limes inferior und Limes superior von (a_n) zu finden. Und zu prüfen, ob die Folge noch weitere Häufungspunkte hat.

Ich habe dann erst mal ein paar werte von a_n ausgerechnet, komme aber auf keine Formel.

a₁ = 1/3  a₂ = 1/9  a₃ = 4/9  a₄ = 4/27  a₅ = 13/27  a₆ = 13/81 …

Man erkennt ja schon irgendwie einen Zusammenhang, das es immer was mit der Dreier-Potenz zu tun hat, aber ich weiß trotzdem keine Formel für a_n

Wenn man ja die Formel hat ist es ja nicht mehr schwer den limes zu beschnitten und man kann ja auch sofort sagen, dass die Folge keine Häufungspunkte mehr hat.

Aber ich bräuchte bitte Hilfe dabei die Formel aufzustellen !?

Comments

Möglicherweise hilft$$a_{2n}=\frac16\cdot\left(1-\frac1{3^n}\right),\;a_{2n+1}=\frac16\cdot\left(3-\frac1{3^n}\right)\text{ für }n\ge0.$$

Answer 1

(((((( a₀ + 1/3 )  * 1/3 ) + 1/3 ) * 1/3 ) + 1/3 ) * 1/3) + ...

Comments

Erst mal danke, aber das es so voran geht ist ja klar. Ich brauche aber eine explizite Formel für a_n = ...Und in der Formel sollte auch kein a mehr vorkommen, sondern nur noch das n

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Naja, vielleicht nimmst Du meine Notiz zum Anlass, die ersten paar Folgenglieder so zu berechnen, das keine Klammern und nur noch 1en und 3en vorkommen...

Answer 2

Per Iterationsrechner kann man die beiden Grenzwerte leicht berechnen:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm

aB[i+1]=(i%2<1)?aB[i]+1/3:aB[i]/3;  

Eine einzige explizite Formel wirst Du schwer finden, da die Rechenart sich pro  Iterationsschritt ändert.

Aber schaue Dir mal unter Wikipedia die arithmetischen und geometrischen Reihen an und habe dabei die beiden Grenzwerte im Auge -> naaaaa...  klingelt es ....?

0.16666666666666666.. = 1/6