Aufgabe:
Wir betrachten die euklidischen Vektorräume \( \mathbb{R}^{2} \) bzw. \( \mathbb{R}^{3} \) jeweils ausgestattet mit dem Standardskalarprodukt.
a) Gegeben sind die linear unabhängigen Vektoren im \( \mathbb{R}^{2} \) :
\( \overrightarrow{v_{1}}:=\left(\begin{array}{c} \frac{3}{9} \\ \frac{4}{9} \end{array}\right), \overrightarrow{v_{2}}:=\left(\begin{array}{c} \frac{8}{2} \\ \frac{6}{2} \end{array}\right) \)
Berechnen Sie mithilfe von Gram-Schmidt eine Orthonormalbasis \( \left\{\overrightarrow{q_{1}}, \overrightarrow{q_{2}}\right\} \) (Der Vektor \( \overrightarrow{q_{1}} \) zeigt in die selbe Richtung wie \( \overrightarrow{v_{1}} \).)
b) Gegeben sind die linear unabhängigen Vektoren im \( \mathbb{R}^{3} \):
\( \overrightarrow{v_{1}}:=\left(\begin{array}{c} \frac{1}{-3} \\ \frac{2}{-3} \\ \frac{2}{-3} \end{array}\right), \overrightarrow{v_{2}}:=\left(\begin{array}{c} \frac{2}{6} \\ \frac{1}{6} \\ \frac{-2}{6} \end{array}\right), \overrightarrow{v_{3}}:=\left(\begin{array}{c} \frac{2}{4} \\ \frac{-1}{4} \\ \frac{3}{4} \end{array}\right) \)
Berechnen Sie mithilfe von Gram-Schmidt eine Orthonormalbasis \( \left\{\overrightarrow{q_{1}}, \overrightarrow{q_{2}}\right. \) \( \left.\overrightarrow{q_{3}}\right\} . \) (Der Vektor \( \overrightarrow{q_{1}} \) zeigt in die selbe Richtung wie \( \overrightarrow{v_{1}} \).)
Problem a)
\( \vec{v}_{1}=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{9} \\ \frac{4}{9}\end{array}\right], \vec{v}_{2}=\left[\begin{array}{c}\frac{8}{2} \\ \frac{6}{2}\end{array}\right] \)
\( \vec{q}_{1} = \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} \quad \vec{l}_{2} = \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} \quad \vec{q}_{2} = \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} \)
Problem b)
\( \vec{v}_{1}=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{-3} \\ \frac{2}{-3} \\ \frac{2}{-3}\end{array}\right], \vec{v}_{2}=\left[\begin{array}{c}\frac{2}{6} \\ \frac{1}{6} \\ \frac{-1 \cdot 2}{6}\end{array}\right], \vec{v}_{3}=\left[\begin{array}{c}\frac{2}{4} \\ \frac{-1 \cdot 1}{4} \\ \frac{3}{4}\end{array}\right] \)
\( \vec{q}_{2} = \begin{pmatrix} ? \\ ? \\ ? \end{pmatrix} \quad \vec{l}_{3} = \begin{pmatrix} ? \\ ? \\ ? \end{pmatrix} \quad \vec{q}_{3} = \begin{pmatrix} ? \\ ? \\ ? \end{pmatrix} \)
