Aufgabe (Das charakteristische Polynom einer 2x2-Matrix):
Das charakteristische Polynom \( p_{M}(x) \) einer Matrix \( \mathrm{M} \) wird wie folgt berechnet:
\( p_{M}(x)=\operatorname{det}(M-x \cdot I) \), wobei \( l \) die Einheitsmatrix ist.
Ein Beispiel:
Sei \( M=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right] \)
\( \begin{array}{l} p_{M}(x)=\operatorname{det}\left|\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]-x \cdot\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\right| \\ =\operatorname{det}\left|\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} x & 0 \\ 0 & x \end{array}\right]\right|=\left|\begin{array}{cc} -x+2 & -1 \\ -1 & -x+2 \end{array}\right| \end{array} \)
Also ist das charakteristische Polynom von M:
\( p_{M}(x)=x^{2}-4 \cdot x+3 \)
Ansatz/Problem:
Wie komme ich auf das charakteristische Polynom M : pM (x) = x^{2} - 4x + 3?
