Berechnen Sie das charakteristische Polynom p(x) von M1 und M2

Question

Gegeben sind die beiden folgenden \( 4 \times 4 \) Matrizen:

\( M_{1}:=\left(\begin{array}{cccc} -1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad M_{2}:=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right] \)

a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom \( p(x) \) von \( M_{1} \).

b) Berechnen Sie das charakteristische Polynom \( p(x) \) von \( M_{2} \).

Answer 1

DET([-1 - k, -2, 1, 1; 0, 1 - k, -1, 3; 0, 0, 1 - k, -2; 0, 0, 0, 1 - k]) = (k + 1)·(k - 1)^3

Du wirst sicher die Determinente selber herleiten können. Entwickel M1 nach der ersten Spalte oder der 4. Zeile.

DET([1 - k, 1, 0, 1; 0, 1 - k, 0, 1; 2, 1, 1 - k, 3; 0, 1, 0, -1 - k]) = (k - 1)·(k^3 - k^2 - 2·k + 2)