Quadratische Funktion: Abhängigkeit Besucher und Einnahmen. y= -0.05(x-720)^2 + 30'920 (x=Besucher, y=Geldeinheit)

Question

Guten Tag

Ich habe ein Problem mit den Textaufgaben zu den Quadratischen Funktionen und bitte sie hier um Hilfe. Die Textaufgaben sind meistens sehr ähnlich und lauten wie folgt: Der Veranstalter will bei einem Konzert möglichst hohe Einnahmen erzielen. Er kann mit 5000.- von Sponsoren rechnen. Die Anz. Besucher ist vom Eintrittspreis abhängig. Der Veranstalter kennt folgende Abhängigkeit zwisch. Anz. Besucher und Einnahmen.  y=-0.05(x-720)² + 30'920   (X=Besucher, Y=Geldeinheit)

Ich muss nun berechnen bei wievielen Besuchern die Einnahmen am höchsten sind.

Anschliessend muss ich eine neue Funktionsgleichung berechnen, die Abhängig von den Besuchern ist und dann noch bei wie vielen Tickets weder Gewinn noch Verlust entsteht.

Ich hoffe es ist verständlich geschrieben, ich brauche irgendwie einen Ansatz, wie ich diese Aufgabe bzw. Textaufgaben (Quadratische Funktionen) angehen soll.

Ich bedanke mich schonmal im Voraus für eure Hilfe.

Freundliche Grüsse

Answer 1

Diese Funktionsgleichung beschreibt eine Parabel in der Scheitelpunktform.

Die allgemeine Scheitelpunktform ist

f(x) = a*(x-b)² + c

mit dem Scheitelpunkt S(b, c).

Wegen a = -0.05 < 0 ist deine Parabel nach unten geöffnet, der Scheitelpunkt ist also ein Maximum der Funktion!
Daraus folgt direkt, dass die Einnahmen genau bei diesem Scheitelpunkt maximal sind, also wenn

x = 720

gilt.

Dann verdient er nämlich 30920 Geldeinheiten (möglicherweise noch zuzüglich dem Sponsorenbetrag?)

 

Für die anderen Aufgaben müsstest du nochmal die vollständige Aufgabenstellung im Originalwortlaut posten, das klingt für mich gerade etwas wirr.

Comments

Erstmal danke für die rasche Antwort. Das hätte ich erkennen müssen, dass es 720 sind.

Diese zwei sind Teilaufgaben zu dieser, die ich gepostet habe.

Bei wievielen verkauften Tickets hat der Veranstalter weder einen Gewinn noch einen Verlust?

Wie gross wäre das Defizit für der Veranstalter, wenn kein einziges Billet verkauft würde?

Die andere Aufagbe lautet so:
Für ein Konzert in der Arena (32'000 Plätze) soll eine Eintrittskarte im Durchschnitt 150 Euro kosten. Eine Marktforschung hat ergeben, dass bei deisem Preis ca. 25'000 Zuschauer zu erwarten sind. Wird er Preis um 5 Euro, 10, 15.. gesenkt, so können 1000, 2000, 3000.... Zuschauer mehr erwartet werden.
a) Bei welchem Presi wäre ein vollbesetztes Stadion zu erwarten? (Ich nehme an hier müsste man auch den Scheitelpunkt ausrechnen?)

b) Wie wird der Durchschnittspreis festgesetzt, wenn die Einnahmen möglich hoch sein sollen? Da soll ich mit einer Quadratischen Funktion berechnen

und c) Sollen die Organisatoren aus finanzeillen Überlegungen ein ausverkauftes Stadion anstreben? Begründen mit Zahlen...

Gibt es da irgendeinen Ansatz? (Den man in der Regel tun könnte?)

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Zu der ersten Aufgabe noch eine Frage:

Ich musst eine neue Funktionsgleichung ermitteln für die Ausgaben in Geldeinheit (y) in Abhängigkeit von der Anz.Besuchern (x)

Dieses lautet dann y=x+22985

die nächste Aufgabe lautet: Bei wievielen verkauften Billeten hat der Veranstalter weder einen Gewinn noch Verlust? Muss ich hier die ermittlete Gleichung ( y=x+22985 mit der Quadratischen Funktionsgleichung gliechsetzten?
Wenn das so wäre dann erhalte ich : -0.05x² + 71x - 17985=0
Dann setze ich x²-1420x+359700=0 in die abc Formel ein und erhalte x1=1090 und  x2=330 als resultat.
 

die letzte Aufgabe lautete anschliessend: Wie gross wäre das Defizit für den Veranstalter, wenn kein einziges Billet verkauft wurde?  Was muss ich hier machen?

 

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Du solltest mal die Original Aufgabenstellung veröffentlichen. Ich kann hier keine Angaben zur Kostenfunktion entnehmen und daher dazu auch keine Fragen beantworten.

Wenn ich mir deine Erlösfunktion (Einnahmen) anschaue

y=-0.05(x-720)² + 30'920

Dann merke ich das wenn ich dort für x = 0 einsetzte ich dann 5000 heraus bekomme. Das könnte auch darauf schließen lassen, das hier die Sponsorengelder schon enthalten sind. Denn eigentlich hat man sonst keine Einnahmen, wenn nichts verkauft wird.

die letzte Aufgabe lautete anschliessend: Wie gross wäre das Defizit für den Veranstalter, wenn kein einziges Billet verkauft wurde?  Was muss ich hier machen?

Man würde hier die Gewinnfunktion aus der Differenz von Erlös und Kosten bilden

G(x) = E(x) - K(x)

Dann würde man den Gewinn bei einer Verkaufsmenge von x = 0 berechnen. Das ist dann auch E(0) - K(0). Also Erös wenn nichts verkauft wird. Das sind nur die Sponsorengelder von 5000 Euro. Davon subtrahiere ich dann die Fixkosten. Bei dir eventuell 22985 Euro, wenn du die Funktion richtig aufgestellt hast. Aber zur richtigkeit kann ich wie gesagt nichts sagen.

Wenn das so stimmt dann wäre das Defizit:

5000 - 22985 = -17985 Euro.

Man hat also ein Defizit von 17985 Euro.

Answer 2

Ich mache hier mal die andere Frage. Normalerweise solltest Du die aber getrennt stellen.

Für ein Konzert in der Arena (32'000 Plätze) soll eine Eintrittskarte im Durchschnitt 150 Euro kosten. Eine Marktforschung hat ergeben, dass bei deisem Preis ca. 25'000 Zuschauer zu erwarten sind. Wird er Preis um 5 Euro, 10, 15.. gesenkt, so können 1000, 2000, 3000.... Zuschauer mehr erwartet werden.

Wir stellen hier die Preis-Absatz-Funktion in der Punkt-Steigungs-Form auf

Preis: p(x) = -5/1000 * (x - 25000) + 150 = 275 - 0.005x

a) Bei welchem Presi wäre ein vollbesetztes Stadion zu erwarten? (Ich nehme an hier müsste man auch den Scheitelpunkt ausrechnen?)

p(32000) = 115 Euro

b) Wie wird der Durchschnittspreis festgesetzt, wenn die Einnahmen möglich hoch sein sollen? Da soll ich mit einer Quadratischen Funktion berechnen

Erlös: E(x) = x * p(x) = x * (275 - 0.005x) = 275x - 0.005x^2

Der Erlös ist im Scheitelpunkt am höchsten

Sx = -b/(2*a) = -275/(2*(-0.005)) = 27500

p(27500) = 137.50 Euro

c) Sollen die Organisatoren aus finanzeillen Überlegungen ein ausverkauftes Stadion anstreben? Begründen mit Zahlen...

Nein. Da der maximale Erlös bei 27500 verkauften Eintrittskarten liegt. Wollen wir 32000 verkaufen müssten wir den Preis senken und hätten dann nicht mehr den maximalen Erlös.

Comments

Könnten Sie mir bitte erklären, wie Sie die Funktionsgleichung erstellt haben? Ich nehme mal an die -5 sind die 5 Euro Senkung des Preises. Wieso rechnen Sie dann -5/1000?

und was ist das bei b) für eine Funktionsgleichung? Würde nicht auch y=(150-5x)*(25000+1000x) als Funktion gehen?

Ich kann ihren Funktionsgleichung nicht folgen, sollte es nicht y=.... sein?

Vielen Dank für Ihre Hilfe, ich bin Ihnen dankbar für nähere Erläuterungen.

PS: Gibt es für solche Aufgaben noch andere Möglichkeiten auf die Lösung zu kommen?

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-5/1000

Ich muss den Preis um 5 Euro senken um 1000 Eintrittskarten mehr zu verkaufen. Daher kommt die 1000.

Nun die Antwort zu B. Der Erlös errechnet sich aus Verkaufter Menge mal dem Einzelpreis. Die Verkaufte Menge ist immer unser x. und der Preis in Abhängigkeit der Menge ist unsere Funktion p(x). Daher muss ich hier x mit p(x) multiplizieren.

Natürlich könnte man für E(x) auch y sagen. Man könnte auch für p(x) auch y sagen. Nur dann kommt man mit den ganzen y-Werten durcheinander. Daher gibt das bei Kostenfunktionen meist verbindliche Absprachen, wie die Funktionen zu bezeichnen sind.

Preis-(Absatz-)Funktion: p(x)

Erlösfunktion: E(x) = x * p(x)

Kostenfunktion: K(x)

Gewinnfunktion: G(x) = E(x) - K(x)

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Danke, das ergibt für mich nun einen Sinn. Vielen Dank für Ihre Hilfe Mathecoach.