Newtonsches Abkühlungsgesetz: Man berechne die Lösung des AWP

Question

Aufgabe Newtonsches Abkühlungsgesetz:

Man berechne die Lösung des AWP

\( \frac{d T}{d t}=-0.1\left[T-T_{U}\right] \quad T(0)=75^{\circ} \)

Für \( T_{u} \) gilt die folgende Beziehung:

$$ T_{u} = \left\{ \frac{20^{\circ} ~ t \in [0,1]}{ 4^{\circ} ~ t \in ]1, \infty[ } \right\} $$

Answer 1

also ich habe mal so angesetzt:

$$ T'=-0,1(T-T_U)=-0,1T+0,1T_U $$

also

$$ T'+0,1T=0,1T_U $$

löse zunächst die homogene DGL

$$ T'+0,1T=0 $$

Es wird

$$ T = e^{-0,1t}\cdot C(x)$$

nach VdK und Einsetzen in die DGL wird dann

 $$ T = e^{-0,1t}\cdot 0,1 \cdot T_U \cdot t+C_1$$

und mit T₀= 75° wird C₁=75°

also

$$ T = e^{-0,1t}\cdot 0,1 \cdot T_U \cdot t+75°$$

T_U ist hierin Deiner Definition entsprechend

Comments

VdK ?

Das  "?"  lässt verschiedene Interpretationsmöglichkeiten zu und über all die solltest du noch mal nachdenken.

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Also hier wie versprochen das ganze nochmal, wie ich es mir denke.

ich löse zunächst die homogene DGL mit TdV:

$$ T'+0,1T=0 $$ und finde 

$$ T=e^{-0,1t} \cdot C(t) $$

nun variiere ich die Konstanten:

$$ T'=-0,1e^{-0,1t}C(t)+e^{-0,1t}C'(t) $$

in die ursprüngliche DGL eingesetzt (und hier war ich im ersten Versuch etwas hektisch ;) )

$$ -0,1e^{-0,1t}C(t)+e^{-0,1t}C'(t)= -0,1e^{-0,1t}C(t)+0,1T_U $$ woraus dann 

$$ C'(t)=0,1\cdot T_U \cdot e^{0,1t}$$ folgt. 

Hier nun sollten die unterschiedlichen Fälle für T_U Einfluß finden. Da wir den Anfangswert T₀ gegeben haben betrachte ich zunächst das Intervall t∈[0,1]. Hierfür ist T_U=20. Es wird

$$ C'(t)=0,1\cdot 20\cdot e^{0,1t}=2e^{0,1t}$$ und

$$ C(t)=\int 2e^{0,1t}dt=20e^{0,1t}+C_1$$ womit dann in diesem Intervall 

$$ T_1(t)=e^{-0,1t}\cdot (20e^{0,1t}+C_1)=20+C_1e^{-0,1t}$$ gilt und mit T₀=75 kann nun C₁ bestimmt werden:

$$ T_0=75=20+C_1e^0$$

$$ C_1=55$$

Für t ∈ [0,1] ist also 

$$ T_1(t)=20+55e^{-0,1t}$$

Für das Intervall t ∈ ]1,∞[ gehe ich in der Bestimmung von C(t) genauso vor nur das hierfür kein Anfangswert gegeben ist. Ich nehme aufgrund der Nähe der Intervalle an, dass die Lösung T₂ an die Lösung von T₁ anknüpft und somit T₂(1)=T₁(1) gilt. (Die Fragestellung lässt vermuten, dass mit der Lösung der DGL ein Temperaturverlauf über t beschrieben wird.) Ich finde mit T_U=4  

$$ C'(t)=0,1\cdot 4\cdot e^{0,1t}=0,4e^{0,1t}$$ und nach Integration und Einsetzen

$$ T_2=4+C_2e^{-0,1t}$$

Nun setze ich T₂(1)=T₁(1):

$$ T_2(1)=4+C_2e^{-0,1}=20+55e^{-0,1}=T_1(1)$$ woraus 

$$ C_2=16e^{0,1}+55$$ folgt damit wird dann für t ∈ ]1,∞[:

$$ T_2(t)=4+(16e^{0,1}+55)e^{-0,1t}$$

Womit ich die DGL als gelöst ansehe. Vielleicht kann ja aber Gast hj215 noch einmal drüber schauen. Es scheint als habe er hierfür einen professionelleren Blick und kann mich Hobby-Rechner geeignet korrigieren, falls nötig. Insbesondere bin ich mir nicht ganz sicher, ob man die Verknüpfung so machen kann, da ich ja T₂(1) bilde, die 1 jedoch gar nicht zu deren Intervall gehört... Dennoch scheint mir diese Verknüpfung im Intervallübergang irgendwie plausibel.