Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Anzahl der Punkte, die G_{fa} und G_{ga} gemeinsam haben.

Question

Aufgabe:

Gegeben Sind die linearen Funktionen \( f_{a}(x)=2 x+\frac{1}{a} \) und \( g_{a}(x)=a x+1 \) mit \( a \in \mathbb{R}^{+}, D_{f_{a}}=\mathbb{R} \) und \( D_{g_{a}}=\mathbb{R} \)

a) Zeichnen Sie \( G_{f_{a}} \) und \( G_{g_{a}} \) für den Sonderfall \( a=-\frac{1}{2} \) in einem kartesischen Koordinatensystem.

b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \( a \) die Anzahl der Punkte, die \( G_{f_{a}} \) und \( G_{g_{a}} \) gemeinsam haben. Für den Fall, dass \( G_{f_{a}} \) und \( G_{g_{a}} \) genau einen gemeinsamen Punkt haben, sind die Koordinaten des Punktes zu bestimmen.

c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen \( G_{f_{a}} \) und \( G_{g_{a}} \) für den Fall, dass die Geraden \( g \) und \( f \) aufeinander senkrecht stehen.

Answer 1

2x + 1/a = ax+1

1/a -1 = (a-2) * x

für a=2 hat das keine Lösung für x, also kein SP.
Ansonsten
x = ((1/a)-1) / (a-2)   =    ( 1-a) / (a*(a-2))
y = a * ( 1-a) / (a*(a-2))  + 1 
    =  (1-a) / (a-2) + 1
   =  1 / (2-a)

Answer 2

1. Beobachtung: Die Geraden können nicht genau gleich sein, da dafür \( a=2\) sein müsste. Allerdings sind sie in diesem Fall parallel zu einander => also kein Schnittpunkt. Für alle anderen \(a\in \mathbb{R}^+\setminus\{2\} \) sind die Steigungen verschieden es gibt also genau ein Schnittpunkt.

2. Schnittpunkt durch gleichsetzen:

$$ 2x+\frac{1}{a} = ax + 1 $$

$$ 2x-ax = 1 - \frac{1}{a} $$

$$ (2-a)x = \frac{a-1}{a} $$

$$ x_s = \frac{a-1}{a(2-a)} $$

Hier sehen wir ebenfalls, dass \( a \neq 2 \) sein muss um einen Schnittpunkt zu erhalten.

Einsetzen um y-Wert zu erhalten:

$$ g(x_s) = a \frac{a-1}{a(2-a)} + 1 = \frac{a-1}{2-a}+\frac{2-a}{2-a} = \frac{1}{2-a}$$

Gruß