Welche Bedingung muss gegeben sein damit die Funktion genau einen Sattelpunkt hat?

Question

Welche Beziehung zwischen b und c bestehtb, damit die ganzrationale Funktion  3 Grades f(x) = x³ + bx² +cx+d

a) genau einen Hoch und einen Tiefpunkt haben

b) genau einen Sattelpunkt besitzen

c) weder Hoch und Tiefpunkt noch einen Sattelpunkt besitzen ?

Ich komm nicht drauf HILFE

Answer 1

Es wurde die 1.Ableitung gebildet und zu 0 gesetzt. Es ergab sich
x = b/3  ± √ ( b^2/9 - c/3 )

Falls

b^2/9 - c/3 > 0 dann gibt es 2 Punkte mit waagerechter Tangente
( Hoch und Tiefpunkt )
Die Beziehung zwischen b und c ist
b > + √ ( 3c )
oder
b < - √ ( 3c )

b^2/9 - c/3 = 0 dann gibt es nur 1 Punkt mit waagerechter Tangente
Zum Nachweis das es ein Sattelpunkt ist könnte man
- die 2.Ableitung bilden
- oder über die Monotonie nachweisen das diese stets
fallend oder steigend ist.
Die Beziehung zwischen b und c ist
b = ± √ (3c )

b^2/9 - c/3 ist negativ .
Die Wurzel kann nicht gezogen werden.
Es ergibt sich kein Punkt mit waagerechter Tangente.
Die Beziehung zwischen b und c ist
- √ ( 3 c ) < b < √ ( 3c )

Answer 2

Hi, mache geeignete Aussagen über die Anzahl der Nullstellen der ersten Ableitung!

Answer 3

Die Notwendige Bedingung für einen Extremwert ist f'(x)=0. Die hinreichende Bedingung ist f''(x_E)≠ 0.Wenn eine ganzrationale Funktion 3. Grades nun genau 2 Extrema haben soll, müssen die Koeffizienten also so gewählt werden, dass f'(x)=0 zwei reelle Lösungen hat und f''(x_E)≠0. Dann ergeben sich automatisch je ein Minimum und ein Maximum.

Ein Sattlpunkt liegt dann vor, wenn f'(x)=0 und f''(x)=0

Kein Extrma liegt vor, wenn f'(x)=0 keine Lösung bietet.

Bilde also die Ableitungen der gegebenen Funktion und konstruiere b und c dann so, dass die gewünschte Konstelation erreicht wird.

Comments

Das Heranziehen der zweiten Ableitung ist nicht erforderlich!

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Ich korrigiere mich selbst: Möchte man eleganterweise über das Vorzeichen der Steigung an der Wendestelle argumentieren, kann man dazu auch die zweite Ableitung heranziehen.

Alternative: Scheitelpunkt der ersten Ableitung benutzen.

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@jd135
Ich korrigiere mich selbst
Klasse !

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@Georg: Manchmal lese ich mir meine Beiträge auch später noch einmal durch und finde gelegentlich Fehler oder alternative Ansätze, die ich ggf. nachreiche. Das könntest Du mit Deinen Beiträgen natürlich auch machen...