Funktionenschar von ganzrationalen Funktionen. Welche Eigenschaften lassen sich aus der Abbildung ablesen?

Question

Aufgabe Funktionenschar von ganzrationalen Funktionen:

Mithilfe eines CAS wurden drei Graphen einer ganzrationalen Funktionenschar \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}} \) und die Gerade mit der Gleichung \( y=x \) gezeichnet. Die Abbildung gibt den wesentlichen Verlauf dieser drei Graphen wieder, das heißt in der Abbildung sind alle Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen dieser drei Funktionen sichtbar.

a) Welche Eigenschaften der Funktionen \( f_{k} \) lassen sich aus der Abbildung ablesen?

b) Bei der Funktion \( f_{k} \) handelt es sich um eine Funktion dritten Grades. Zeigen Sie, dass man aufgrund der Eigenschaften aus Teilaufgabe a) den Funktionsterm \( f_{k}(x)=-\frac{1}{k^{2}} x^{3}+x \) für \( f_{k} \) erhält.

c) Auf welcher Ortslinie liegen die Extrempunkte der Funktionenschar \( f_{k} \) ?

d) Begründen Sie, dass die Gerade zu \( y=x \) nicht zur Funktionenschar \( f_{k} \) gehört, jedoch als Grenzfall der Schar aufgefasst werden kann.

e) Der Flächeninhalt \( A_{k} \) der vom Graphen von \( f_{k} \) und der \( x \)-Achse eingeschlossenen Fläche verändert sich mit wechselndem k. Ermitteln Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen \( \mathrm{k} \) und \( \mathrm{A}_{\mathrm{k}} \) in Form eines Funktionsterms.

Answer 1

a)

Symmetrie, Nullstellen und Steigung im WP.

b)

Aufgrund der Nullstellen vermute ich den Term

y = a·x·(x + k)·(x - k) = a·x^3 - a·k^2·x

Aufgrund der Steigung im y-Achsenabschnitt muss gelten.

- a·k^2 = 1 --> a = - 1/k^2

Daher lautet die Funktion

y = - 1/k^2·x·(x + k)·(x - k) = - 1/k^2·x^3 + x

c)

f(x) = - 1/k^2·x^3 + x

f'(x) = 1 - 3·x^2/k^2 = 0

k = √3·x

f(x) = - 1/(√3·x)^2·x^3 + x = 2/3·x

d)

Für k --> ∞ wird der Term vor dem x^3 unendlich klein und dann ist der Grenzwert y = x

e)

2 * ∫ (0 bis k) (- 1/k^2·x^3 + x) = k^2/2

Answer 2

d.)

fk ( x ) = -1 /k^2 * x^3 + x

Falls k gegen ∞ geht dann geht -1/k^2 gegen 0
f0 ( x ) = 0 * x^3 + x
f0 ( x ) = x

Dasselbe gilt auch für k geht gegen - ∞ .

Nachtrag : ich sehe gerade d.) war schon bekannt.

Comments

a.)
Nullpunkt in ( 0  | 0 )
Wendepunkt in ( 0  | 0 )
1 Hoch- und 1 Tiefpunkt.

b.)
f ( x ) = a*x^3 + b * x^2 + c * x + d

Aufgrund des Nullpunkts entfällt d
f ( x ) = a*x^3 + b * x^2 + c * x
f ´( x ) = 3 * a*x^2 + 2 * b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x^3 + 2 * b

Wendepunkt
f ´´( 0 ) = 6 * a * 0^3 + 2 * b = 0
2 * b = 0  => b = 0

f ( x ) = a*x^3 + c * x
f ´( x ) = 3 * a*x^2 + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x^3

Aus der Zeichung ersieht man
( bzw. auch aus d : die Gerade )
Die Steigung für alle Funktionen bei x = 0 ist 1
f ´( 0 ) = 3 * a*0^2 + c  = 1
f ´( 0 ) = c  = 1

f ( x ) = a*x^3 +  x
Da es sich um eine Funktionsschar handelt kann man schreiben
f_a ( x ) = a * x^3 + x

a ist beliebig und es kann auch ( 4 * z ) oder ( - 1 / z ) genommen werden
a = - 1 / k^2
f _k ( x ) = - 1/ k^2 * x^3 + x

c.)
f ´( x ) = 3 * -1 / k^2 * x^2 + 1
Extrempunkte
-3 / k^2 * x^2 + 1 = 0
-3 / k^2 * x^2 + 1 = - 1
x^2 = - 1  * k^2 / -3
x^2 = 1 / 3 * k^2
x = ± k * √ ( 1 / 3 )
x = ± k / √ 3

Funktionswert bei
f ( k / √  3  ) = - 1/ k^2 * ( k / √  3  )^3 + ( k / √ 3  )
f ( k / √ 3  ) = 2 / 3 * √ 3   * k
E ( k / √ 3   |  2 / 3  * k / √ 3   )

Einfach
der y Wert des Extrempunkts
ist 2 / 3 * mal dem x -Wert
ort = 2 / 3 * x

Ansonsten
x = k / √ 3 
k = x * √ 3
y = 2 / 3  * k / √ 3
y = 2 / 3  * x * √ 3 / √ 3
ort  ( x ) = 2 / 3  * x

Alles nicht ganz einfach.

---

Danke für die Mühe, aber ich verstehe nicht wieso es nur 1 Hoch- und einen Tiefpunkt gibt, es sind dort doch mehrere Graphen abgebildet oder nicht?

---

da müßte ich mich aber klar ausgedrückt haben
für jede Kurve gilt ( bzw. ist ja auch zu sehen )
a.)
Nullpunkt in ( 0  | 0 )
Wendepunkt in ( 0  | 0 )
1 Hoch- und 1 Tiefpunkt.

---

Ah okay, dass hab ich jetzt alles verstanden.

Bei e.) müsste ich doch einfach die Integralrechnung anwenden und eine Stammfkt bilden oder?

---

Die Teilaufgabe e.) erfordert die Bildung der Stammfunktion sowie
das Berechnen der Integratiosngrenzen.
fk ( x ) = -1 /k² * x³ + x
Schnittpunkte mit der x-Achse
-1 /k² * x³ + x= 0
x * ( -1 /k² * x^2 + 1 ) = 0   => x  = 0
und
-1 /k² * x^2 + 1 = 0
1 /k² * x^2 = 1
x^2 = k^2
x = ± k

Stammfunktion
∫ -1 /k² * x³ + x  dx
- 1 / k^2 * x^4 / 4 + x^2 / 2
[ - 1 / k^2 * x^4 / 4 + x^2 / 2 ]₀^k
und das mal 2

---

f ( x ) = a*x³ + b * x² + c * x 
f ´( x ) = 3 * a*x² + 2 * b * x + c 
f ´´ ( x ) = 6 * a * x³ + 2 * b 

Wie kann bei der zweiten Ableitung x^3 rauskommen? Da müsste doch x rauskommen

---

Korrektur
f ´( x ) = 3 * a*x² + 2 * b * x + c
anstelle
f ´´ ( x ) = 6 * a * x³ + 2 * b
muß es heißen
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b

Es tritt in den weiteren Berechnungen aber
dadurch kein Folgefehler auf ( Glück gehabt ).

Obwohl : wenn eine Folgefehler aufgetreten wäre,
wäre der Fehler dadurch vielleicht sichtbar geworden.

---

Also ist in der Rechnung ein Folgefehler enthalten oder nicht? Ich hab nachgeschaut und denke das es richtig ist

---

Ich schrieb

Es tritt in den weiteren Berechnungen aber
dadurch kein Folgefehler auf.

---

f ( x ) = a*x³ +  x 

Wie kommt man darauf?

---

Das steht bereits oben.
So, ich habe jetzt genug Antworten gegeben.
Das war die letzte Antwort.

Answer 3

Hi!

zu a) ablesbare Eigenschaften von \(f_k\) wären u. a.:
- die Graphen laufen jeweils von \(+\infty\) nach \(-\infty\),
- sie sind jeweils ursprungssymmetrisch mit dem Ursprung als gemeinsamem Wendepunkt,
- sie haben die gemeinsame Wendetangente \(y=x\),
- sie haben jeweils drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel,
- sie besitzen jeweils einen Tiefpunkt links und einen Hochpunkt rechts vom Ursprung.