Quadratische Funktion Preis-Absatz Funktion..1000 Laptops zu 1'000'000 GE…

Question

Ein Geschäft kauft beim Händler 1000 Laptops zu 1'000'000 GE. Da die Ware schnell veraltet, will das Geschäft die Cpmputer in möglichst kurzer Zeit bei max. Gewinn verkauft haben.
Bei einem Verkaufpspreis von 1600 GE pro Stück rechnet das Geschäft mit einem Absatz von 50 Stück pro Woche. Wird der Preis um 50, 100, 150 GE angehoben, so sinkt der Absatz um 2, 4, 6 Stücl pro Woche.

a)Zu welchem Preis wird das Geschäft die Laptops verkaufen?

Ich habe hier folgende Funktion erstlellt: y=-25* (x-1000) + 1600, ich weiss jedoch nicht ob diese korrekt ist und was der nächste Schirtt ist, bzw. was ich für X einsetzten muss. Wenn ich das x auchrechne, indem ichy  y 0 setze erhalte ich -976. (Das kann ja nicht korrekt sein)

Was mache ich falsch?

Vielen Dank für Ihre Hilfe.

Answer 1

Ein Geschäft kauft beim Händler 1000 Laptops zu 1'000'000 GE. Da die Ware schnell veraltet, will das Geschäft die Cpmputer in möglichst kurzer Zeit bei max. Gewinn verkauft haben. Bei einem Verkaufpspreis von 1600 GE pro Stück rechnet das Geschäft mit einem Absatz von 50 Stück pro Woche. Wird der Preis um 50, 100, 150 GE angehoben, so sinkt der Absatz um 2, 4, 6 Stücl pro Woche.

p(x) = -50/2 * (x - 50) + 1600 = -25x + 2850

E(x) = x * p(x) = -25x^2 + 2850x

Wenn der Erlös Maximal sein muss suchen wir den Scheitelpunkt.

Sx = -b/(2a) = -2850/(2*(-25)) = 57

p(Sx) = -25*57 + 2850 = 1425 Euro

Das Geschäft sollte die Laptops für 1425 Euro verkaufen.

Comments

Vielen Dank Mathecoach.

Noch eine Frage für was werden den die Nullstellen gebraucht, bei z.B. solch einer Aufgabe? Haben sie einen gebrauch?

Und noch etwas:

Berechnen Sie den höchst möglichen Bruttogewinn.

Muss ich da 1425 Euro * 1000 (Laptops) =1'425'000 Euro, dann - 1'000'000 ?

 

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Meist braucht man die Nullstellen der Gewinnfunktion. Das sind zum einen die Gewinnschwelle. Das ist die Menge ab der ich anfange Gewinn zu machen und die Gewinngrenze. Das ist die Menge bei der ich dann aufhöre Gewinn zu machen. Den bereich zwischen Gewinnschwelle und Gewinngrenze ist dann die Gewinnzone.

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Deine Berechnung zum Bruttogewinn ist richtig.

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@Retaf. Man braucht die Mitte zwischen den Nullstellen, also die x-Koordinate des Scheitelpunkts.

Hier ein um den Faktor 1000 gestauchter Graph für E(x) (64 entspricht 64'000). Nullstellen x1 = 0 und x2 ca. 114

Berechnen Sie den höchst möglichen Bruttogewinn.

Muss ich da 1425 Euro * 1000 (Laptops) =1'425'000 Euro, dann - 1'000'000 ?

Tönt vernünftig. Zumal da neben den 1'000'000 keine weitere Kosten angegeben sind. Könnte aber sein, dass welche anfallen zB wegen kürzerer oder längerer Lagerung oder kurzfristig mehr Verkaufspersonal. 

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Das würde bei dieser Aufgabe nun heissen, dass ich nun die Funktion Null setzten müsste, sprich so: 0= -25x² + 2850x -->  0= x*(-25+2850) -->  x= 114.   Gewinnschwelle liegt bei 114 verkauften  Laptops?

 

 

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Nein Du hast da gerade den Erlös gleich Null gesetzt.

Das ist einmal bei X = 0 der Fall. Hier ist der Preis so hoch das wir nichts verkaufen.

Und das ist bei X = 114 der Fall. Hier nehmen wir für das Notebook 0 Euro, verschenken es also quasi. Dann werden wir zwar 114 Geräte los verdienen nehmen aber trotzdem nichts ein.

Du musst wenn dann den Gewinn = 0 setzen

Da der Erlös hier aber ein Wöchentlicher Erlös ist und kein Gesamterlös ist das etwas schwierig.

Gewinnschwelle ist aber dort wo wir für das Notebook genau unsere Kosten von 1000 Euro nehmen.

G(x) = E(x) - K(x) = -25x² + 2850x - 1000x = -25x^2 + 1850x

G(x) = 0

-25x^2 + 1850x = x*(-25x + 1850) = 0

x = 0

x = 74

Die Gewinnschwelle wäre hier also bei 0. D.h. ab 1 verkauften Gerät pro Woche mache ich Gewinn. Und die Gewinngrenze liegt bei 74 Geräten pro Woche. Da verdiene ich nur noch genau meine 1000 Euro und mache keinen Gewinn mehr.

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Die Lösung ist hier aber nur rechnerisch. Unternehmerisch birgt es Risiken nur 1 Gerät pro Woche zu verkaufen, Dann dauert der verkauf viel zu lange, sodass die Geräte zwischenzeitlich schon sehr an Wert verlieren.

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Vielen Dank für deine mühe. Ich hoffe ich kann das so nun anwenden.