Konvergenz von Reihen mit Metrik

Question

Sei s die Menge aller reellen Zahlenfolgen. Für x=(x_n ), y=(y_n ) element s wird definiert:

d(x,y):= ∑_n=1∞  1/2ⁿ * ιx_n - y_n ι / 1+ι x_n - y_n ι

a) Konvergiert die angegebene Reihe, d.h. ist die Definition korrekt?

b) Beweisen Sie, dass d eine Metrik auf s ist.

c)Zeigen sie, dass die Konvergenz  einer Folge (x^(k) )= (x_n ^(k) ) aus s gegen ein element x=(x_n ) aus s bezüglich der Metrik d genau die Konvergenz koordinatenweise ist, d.h. es gilt

x^(k) →_{^k→∞ d}        x ⇔x _n^(k)   →^k→∞ x_n       für alle n element ℕ

Answer 1

a) Das lässt sich doch einfach mit dem Majorantenkriterium machen .
|xn-yn| / (1+|xn-yn| ) <1
Daraus folgt,dass deine Reihe kleiner ist als Summe 1/(2^n) . Und diese Reihe konvergiert ja offensichtlich. Also konvergiert auch deine Reihe.

b)Schau dir doch mal an welche Axiome erfüllt sein müssen,damit da eine Metrix ist.

c) weiß ich leider nichts zu,tut mir leid.