Trigonometrie: Warum teilt man die Katheten durch die Hypotenuse?

Question

sin(alpha)= GK / Hy     also ein verhältnis...wie oft passt die Hypotenuse in die Gegenkathete in anderen worten.

aber warum teilt man das gerade so? man könnte doch auch das verhältnis  Hy/ GK bilden?

und warum ist tangens das verhältnis von sin und cos?

danke danke

Answer 1

Schau dir doch mal am besten diese Videos an: https://www.matheretter.de/wiki/sinus

Ganz am Anfang findest du dort was zu einer Herleitung und zur Geschichte: https://www.matheretter.de/wiki/trigonometrie-entstehung

https://www.youtube.com/watch?v=rEq1PUED5Zk

Ich finde das Video erklärt das ganze relativ gut.

Answer 2

aber warum teilt man das gerade so? man könnte doch auch das
verhältnis  Hy/ GK bilden?

In einem rechtwinkligen Dreieck sind für einen bestimmten Winkel, egal wie
groß das Dreieck ist, die Verhältnisse von Kathete zu Kathete oder zur
Hypotenuse stets gleich.

Wie man was nennt ist eigentlich beliebig. Ob man als tan das Verhältnis
von ak / gk definiert oder das Verhältnis gk / an war Vereinbarungssache.
Es hätte auch anders definiert werden können.

und warum ist tangens das verhältnis von sin und cos? 

c = Hypotenuse
a = ankathete
b = Gegenkathete

sin = b / c
cos = a / c
sin / cos = ( b / c ) / ( a / c ) = b / a = tan

Comments

also könnte man es theoretisch auch mit sin(alpha)= H / GK rechnen, aber man einigte sich auf GK / H ?

und ich verstehe nicht wie mir das hier weiterhelfen soll:

c = Hypotenuse 
a = ankathete 
b = Gegenkathete

sin = b / c 
cos = a / c 
sin / cos = ( b / c ) / ( a / c ) = b / a = tan

ich habe ja geschrieben dass der tan sin/ cos ist ich wollte eine herleitung, also warum ist es nicht das verhältnis von GK/AK ?

danke

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Ich scheine offensichtlich dein Problem noch nicht verstanden zu haben.

Grunderkenntnis:
Ich bilde in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis Gegen- / Ankathete
des Winkels a.
Beispiel : 3 / 4 = 0.75
Nun stelle ich fest das für alle Dreiecke mit denselben Innenwinkeln, egal wie
groß, das Verhältnis stets 0.75 ist.
Einem bestimmten Winkel a ( 36.87 ° ) kann ich die Zahl 0.75 zuordnen wobei gilt :
dem Winkel a wird zugeordnet 0.75 ;
Dies ist für Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck von Vorteil
0.75 = G / A oder 0.75 * A = G oder A = G / 0.75.

Ich kann dem Winkel a ( 36.87 ° ) auch A / G = 1.3333 zuordnen. Dann gilt
1.33 = A / G oder 1.33 * G = A oder G = A / 1.33.

Damit für alle Mathematiker klar ist was gemeint wird vereinbart. Die 1.Zuordnung
nennen wir tangens, die 2.Zuordnung nennen wir cotangens.

Ich hoffe wir sind einen Schritt weiter gekommen.

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also ich verstehe die grundidee der trigonometrie ich frage mich nur warum man ausgerechnet die hypetenuse durch die jeweilige kathete teilt...

warum wäre es falsch wenn man die jeweilige kathete durch die hypotenuse teilt?

hoffe ich verwirre nicht :)

danke

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also ich verstehe die grundidee der trigonometrie ich frage mich nur
warum man ausgerechnet die hypetenuse durch die jeweilige kathete teilt...

warum wäre es falsch wenn man die jeweilige kathete durch die hypotenuse teilt?

1.) du scheinst eh etwas verwirrt zu sein:
Beim Sinus, davon redest du ja, wird nicht die Hypotenuse durch eine Kathete
geteilt sondern eine Kathete durch die Hypotenuse.

ES GIBT ZUNÄCHST KEINEN GRUND DAFÜR. MAN HÄTTE AUCH ANDERS
DEFINIEREN KÖNNEN.

Die Sinus Funktion läßt sich allerdings bei der Veranschaulichung im
Einheitskreis ( Hypotenuse = 1 ) relativ einfach darstellen.

Wenn du also willst kannst du die trigonometrischen Funktionen alle
neu definieren. Die darauf basiernde Mathematik würde genauso funktionieren.

Nachtrag :

schau einmal nach unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis

Die von dir vorgeschlagene Definition gibt es also auch.

Außerdem existieren noch die wenig gebräuchlichen Funktionen
Sekans und Kosekans, die definiert sind als die Kehrwerfunktionen von
Kosinus und Sinus.

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vielen lieben dank!

hat mir echt geholfen

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Gern geschehen. War auch für mich interessant.
Sekans und Kosekans sind mir in Matheaufgaben
allerdings noch nie begegnet.

Answer 3

Sinus und cosinus sind am Einheitskreis allgemeiner (auch für Winkel, die nicht zwischen 0° und 90° liegen) definiert.

https://www.youtube.com/watch?v=qJOIoWTLkGY

Von dort aus ergeben sich die Verhältnisse

sin(ALPHA) = GK / Hyp

automatisch aus Ähnlichkeitssätzen.