Kurvendiskussion eFunktion f(x)= 1/2(e^x+e^{-x})

Question

Ich muss eine Kurvendiskussion zu der Dunk: f(x)= 1/2(e^x+e^-x) durchführen, aber ich scheitere schon bei den Ableitungen: 

Zuerst habe ich, die Klammer aufgelöst:                 

f(x)=1/2e^x +1/2e^-x    

dann wollte ich das mit der Produktregel ableiten f'(x)=u(x)*v'(x)+v(x)*u'(x)  also f'(x)=1/2e^x*(-1/2e^-x)+1/2e^-x*1/2e^x  weiter zusammengefasst: f'(x)=1/2e^x(-1/2e^-x+1/2e^x)

hier habe ich schon das Gefühl,  dass was falsch ist.

Answer 1

wieso benutzt du denn die Produktregel? Die Produktregel benutzt man nur, wenn die Funktion, die du ableiten willst, sich in zwei Faktoren, die  multipliziert werden, unterteilen lässt.

Bei f(x) = 1/2e^x + 1/2e^-x geht das jedoch nicht so einfach.

Eine Summe abgeleitet ergibt immer die Ableitungen der einzelnen Summanden addiert.

Also berechnest du getrennt die Ableitungen von 1/2e^x und 1/2e^-x und addierst sie dann.

Für 1/2e^x ändert sich beim Ableiten nichts.

Bei 1/2e^-x kommt beim Ableiten nur das Minuszeichen dazu: -1/2e^-x

Also:

f(x) = 1/2e^x - 1/2e^-x

Ich hoffe, du kannst meinen Lösungsweg nachvollziehen.

LG derhaberer

Comments

Und ich muss immer so kompliziert denken -.- 

vielen Dank :)

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Bleibt denn die 2. Ableitung dann gleich?

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Nein, die 2. Ableitung ist:

f''(x) = 1/2e^x - (-1/2e^-x) = 1/2e^x + 1/2e^-x

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Ok danke. Wir hatten noch nie eine Kurvendiskussion mit e Funktionen gemacht, aber ich habe mir das gerade angeschaut und weiß,  dass man für die Symmetrie f(-x) berechnen muss. Das wäre dann f(-x)=1/2*e^-x+1/2*e^x

das jetzt, dass es keine Symmetrie gibt? 

Und dann wüsste ich gerne, wie man das Grenzwertverhalten berechnet