Aufgabe:
Sei (R,+,*) ein kommutativer Ring mit Eins. R* bezeichne die Menge der Einheiten von R und R[X]* die Menge der Einheiten des zugehörigen Plynomrings.
a) Zeigen Sie, dass für jedes Polynom f∈R[X] folgende Aussage gilt
f ∈ R[X]* ⇒ Für alle a ∈R ist f(a) ∈ R*.
b) Zeigen Sie, dass die Umkehrung der in a) formulieren Aussage im Allgemeinen nicht richtig ist.
Zu a) hab ich folgendes:
f ∈ R[X]*Einheit
⇒∃ g ∈ R[X]: f*g=1
⇒ f(a)*g(a)=1 ⇒ f(a) ist Einheit in R*.
die b) macht mir etwas Schwierigkeiten:
die Umkehrung müsste ja so aussehen
f ∉ R[X]*⇒ ∃ a ∈ R: f(a)∉R* oder täusch ich mich da?
sei nun f ∉ R[X]* dann gilt ja für alle g aus R[X]
f*g=h h≠1
Damit ich nun aber zeige dass die Umkehrung im Allg. nicht gilt muss für alle a aus R ja h(a)∈R* sein.
Wenn dies aber für alle a gilt dann kann h eig nur konstant sein und h∈R*.. Dann wäre aber die Umkehrung nicht widerlegt :/
