Zeigen Sie allgemein, dass die Menge ein Untervektorraum von R^{n} ist. Finden Sie eine Basis des Unterraumes.

Question

Aufgabe:

a) Sei \( \bar{n} \in R^{n} /\{\overline{0}\} \) beliebig. Zeigen Sie allgemein, dass die Menge \( U:=\left\{\bar{x} \in R^{n}:(\bar{n}, \bar{x})=0\right\} \), ein Unterraum von \( R^{n} \) ist.

b) Finden Sie eine Basis des Unterraumes U für den Fall \( n=4 \) und \( \bar{n}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \) und geben sie \( \operatorname{dim}(U) \) an.

Ansatz/Problem:

Also zu a) weiss ich, dass ich die 3 Kriterien für den Vektorraum zeigen muss, leider Weiss ich dass im allgemeinen Fall nicht.

Comments

Sol \( (\vec{n}, \vec{x} ) \) das Skalarprodukt sein?

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Ja das soll ein Skalarprodukt sein und da liegt eben mein Problem weil ich nicht weiss wie ich da vorgehen soll...

Danke

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Fang damit an, die Eigenschaften eines Unterraums zu überprüfen.

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Also ich weiss, wie man die 3 Kriterien für den Unterraum überprüft (U darf keine Nullmenge sein, Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und Skalarmultiplikation) aber mein Problem ist, wie ich das Skalarprodukt als Vektor darstelle, denn wenn ich ja 2 Vektoren miteinander skalar multipliziere kommt ja ein Skalar raus.

Ich hab nur das hier bis jetzt:

\( \frac{-}{n}=\left(\begin{array}{c}n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \\ \ldots \\ n_{n}\end{array}\right) \)
\( \bar{x}=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \cdots \\ x_{n} \end{array}\right) \)
Der Skalarprodukt wäre ja folgendermassen:
\( \bar{n} * \bar{x}=n_{1} * x_{1}+n_{2} * x_{2}+n_{3} * x_{3}+\ldots \ldots+n_{n} * x_{n} \)

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Wo genau ist das Problem ^^ das Skalarprodukt ist doch auch kein Vektor. Ist ja an sich schon richtig was du schreibst. Brauchst vielleicht ein Schubs in die richtige Richtung:

Seien \(\overline{x},\overline{y} \in U\), dann betrachte:

$$ ( \overline{n}, \overline{x}+\overline{y}) = (\overline{n},\overline{x}) + (\overline{n},\overline{y}) = 0 \Rightarrow \overline{x}+\overline{y} \in U$$

Also stimmt schonmal die Abgeschlossenheit. Ist dir eigentlich klar welche Menge \(U\) sein soll?

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Danke mal, jetzt verstehe ich, leider ist mir nicht klar welche Menge U sein soll...

Ist das folgende ok um für die Nullmenge zu zeigen?

\( \bar{n} *\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \cdots . \\ x_{n} \end{array}\right) \)
Man wähle \( x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}=0 \) daraus folgt :
\( \begin{array}{l} \bar{n} *\left(\begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ \cdots . . \\ x_{n} \end{array}\right)=0 \text { und damit wäre } \\ U \neq \text { Nullmenge... } \end{array} \)

Darf ich das so machen?

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U ist die Menge aller Vektoren die senkrecht zu dem Vektor n stehen (also so das ihr Skalarprodukt mit dem Vektor 0 ergibt). Das was du zuletzt geschrieben hast ist richtig (0 liegt in U).

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ok, ja habs endlich gesehen, danke

Und für die Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation, kann ich folgendes machen, wobei ich mir beim letzten Schritt nicht sicher bin....

\( \alpha^{*}(\bar{n} * \bar{x}) \)

\( =(\alpha(\bar{n} * \bar{x})) \)
\( =((\alpha \bar{n}) *(\alpha \bar{x})) \)

mit alpha als skalar

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Nö ist quatsch. Zeig lieber das gilt

$$ ( \overline{n}, \alpha \overline{x} ) = \alpha ( \overline{n}, \overline{x} ) = ... $$

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ok danke, also so \( =(\alpha \bar{n}, \bar{x}) \)

Ist damit nicht die abgeschlossenheit gezeigt?

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Wenn du fragen musst dann wohl nicht :D. Jein, mach dir erstmal klar was du zeigen willst.

Wann liegt denn \(\alpha \overline{x} \) in \(U\)?

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wenn alpha und der x Vektor in U liegen oder nicht?
danke

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Nein, der Vektor \( \alpha \overline{x} \) liegt in \(U\) wenn er senkrecht zu \( \overline{n} \) liegt! Also muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ergeben. Wenn du das nachweisen kannst (was wir schon fast gemacht haben), dann hast du die Abgeschlossenheit von \(U\) bezüglich der Multiplikation von Vektoren aus U mit Skalaren aus dem zu grunde liegenden Körper gezeigt.

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in etwa so?

\( \ldots=(\alpha \bar{n}, \bar{x})=0 \)

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kein Problem. Wichtig ist das dir klar wird was du machen sollst bzw. was du eigentlich da machst :)

Ja genau, wobei natürlich der Zwischenschritt unnötig ist, da man schon \(\alpha(\overline{n}, \overline{x}) = 0 \) schreiben kann.

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hey
danke vielmals für deine Mühe und Geduld^^
habe es jetzt verstanden =)