Gleichung einer linearen Abbildung angeben

Question

Aufgabe:

(a) Geben Sie die Gleichung einer linearen Abbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) an, die durch

\( f\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r} 3 \\ -1 \\ 5 \end{array}\right] \quad \text { und } \quad f\left(\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right] \)

definiert ist.

(b) Geben Sie die Gleichung einer linearen Abbildung \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) an, die durch

\( g\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\right)=3, \quad g\left(\left[\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right]\right)=1 \quad \text { und } \quad g\left(\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]\right)=-2 \)

definiert ist.

Answer 1

Ansätze:

Du hast eine Lineare Abbildung. f(x,y)

Jetzt wird gesagt,du setzt den Vektor (1,2) in die Funktion ein und erhältst :

(3 -1 5 ) .

Analog für (0,1)

Allgemein hast du für jede Zeile des Ergebnisvektors:

a*x+by=c

Du hast jetzt :

1a+2b=3

0a+1b=2

Jetzt kannst du auflösen und das selbe für die anderen Zeilen machen.

Comments

Ok, das bringt mich erstmal weiter. Kannst du mir noch sagen, was ich dann mit dem Ergebnissen anfange und diese interpretieren muss?

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Wie sieht denn so eine Abbildung aus von R^2 nach R^3

f(x,y) = a1x+b1y

             a2x+b2y

             a3x+b3y

Reicht das?

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Ja jetzt hab ich es. !! Hast Du eventuell noch eine Idee, wie ich bei der 35 ansetzen muss?

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Wie muss ich denn weiter machen? habe nun jede Zeile mit dem Ergebnisverktor aufgelöst und wie verfahre ich nun weiter?

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Ist das dann bei dem ersten f(1,2)= 1x+2y ?

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Ich bin grade leicht verwirrt, haben jetzt mehrere Leute hier drunter kommentiert ,oder ist alles vom Selben Fragesteller?

"Wie muss ich denn weiter machen? habe nun jede Zeile mit dem Ergebnisverktor aufgelöst und wie verfahre ich nun weiter?"
Wo genau bist du ?

"Ist das dann bei dem ersten f(1,2)= 1x+2y ?"

Betrachte doch mal den Kommentar hier drüber von mir, wie eine Abbildung von R^2 nach R^3 aussieht, vielleicht siehst du dann warum man Gleichungen für jede Zeile auflöst.

Zu 35:
Verstehst du die Verknüpfungen nicht?

Bei f verknüft mit g setzt du deinen Vektor erst in g ein und das was du raushaust dann in f.

Du hast f = A*x und g=B*x 

Wenn du jetzt f verknüpft mit g haben möchtest hast du :

A* (B*x)

Das ist das selbe wie (A*B) x

Analog für g verknüpft mit f.

Bei den anderen Aufgaben musst ja nur einsetzen.

Und bei der letzten : Bau dir daraus doch ein Gleichungssytem. f(x,y) = x,y

Und löse nach x,y auf.