Bestimmen Sie alle Punkte, in denen die Funktion differenzierbar ist

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Punkte, in denen die Funktion \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{|x+5|} & {\text { , für } x \leq 0} \\ {5 \mathrm{e}^{\sqrt{x}}} & {, \text { für } 0<x \leq 9} \\ {\frac{5}{2} \mathrm{e}^{x / 3}} & {, \text { für } 9<x}\end{array}\right. \)
differenzierbar ist.

Ansatz:

Reicht es hier, nur die kritischen Stellen (0 und 9) zu betrachten? Für beide liegt keine Diffbarkeit vor.

Oder muss ich selber Punkte "finden"? Wenn ja, wie geht man dann vor?

Answer 1

Solange die einzelenen Teilfunktionen innerhalb ihrer Intervalle differenzierbar sind, so ist es auch die ganze Funktion.
Ist dies der Fall, musst du nur die Übergangspunkte betrachten und schauen,ob die Ableitung der jeweils zwei aufeinandertreffenden Teilfunktionen gleich ist.

Also genau das,was du wahrscheinlich getan hast.

Answer 2

Die Diffbarkeit für die Nahtstellen hast du selbst nachgewiesen.

Bei x = -5 ist die Funktion nicht Diffbar.

Fall 1
x + 5 > 0
f ( x ) =  x +5
f ´ ( x ) = 1

Fall 2
x + 5 < 0
Dafür gitl
- 1 * ( x + 5 )
f ( x ) = -x - 5
f ´( x ) = -1

bei x = - 5 ist der
linker Grenzwert der Steigung -1
rechter Grenzwert der Steigung 1
Die Teilfunktion ist bei x = -5 nicht diffbar.
Sonst überall in diesem Intervall.

Comments

heißt das, dass es reicht, wenn ich die Nahtstellen überprüfe? Beide sind nicht diff'bar. Existiert hier ein Punkt, an dem f(x) diff'bar ist?

Grüße

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Innerhalb der 2. und 3.Teilfunktion ist f diffbar.

Ob die Funktionen an den Nahtstellen diffbar sind
weiß ich nicht, da habe ich deine Aussage angenommen.
Ich kann aber gern den Nachweis führen.

Innerhalb der 1.Teilfunktion ist bei x = -5, wie ich
dargestellt habe, diese Teilfunktion nicht diffbar.

Siehe meine 1. erweiterte Antwort.

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Hi, 

ja, danke. Ich bin mir eben nicht ganz sicher, weil in der Aufgabe steht, dass ich alle Punkte bestimmen soll. Das hört sich explizit an. Wie würdest du vorgehen? Meinst du, ich muss konkrete Punkte angeben?

Grüße

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Ein Punkt wird bestimmt durch seine Koordinaten ( x | y )

Im Punkt ( -5  | 0 ) ist die Funktion nicht differenzierbar.