Folge der Fibonacci-Zahlen rekursiv. Überprüfen Sie x_{n+1} = 1/(1+x_{n}).

Question

Wir definieren die Folge \( (f_{n})_{n≥1} \) der Fibonacci-Zahlen rekursiv:

\({f}_{1} = {f}_{2} = 1\) und \({f}_{n+2} = {f}_{n+1} + {f}_{n}\) für \(n ≥ 1.\)

1)

Wir definieren die Folge \( ({ x }_{ n }){  }_{ n\geq1 } \) durch \( { x }_{ n }:=\frac { { f }_{ n } }{ { f }_{ n+1 } } .\) Überprüfen Sie: $$ { x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 1+{ x }_{ n } .} $$

2)

Beweisen Sie per Induktion, dass \( \frac { 1 }{2}\leq{ x }_{ n }\leq1  \) für alle \(n\geq1\) gilt.

3)

Beweisen Sie, dass \( ({ x }_{ n }){  }_{ n\geq1 } \) Cauchy-Folge ist.

4)

Mit Hilfe von 1) und 3) berechnen sie $$\lim _{ n→\infty }{ { x }_{ n } } . $$

Comments

Wo ist das Problem? Bei a) musst du doch einfach nur die Definition einsetzen und ein bisschen umformen.

---

Wie würde man anfangen? Das klingt etwas zu simpel.

---

Wie ich schon sagte: Einsetzen der Definition.

Was ist denn \(x_{n+1}\)?

---

\({x}_{n}\) ist ja anders ausgedrückt \( \frac { { f }_{ n+2 }-{ f }_{ n+1 } }{ { f }_{ n+2 }-{ f }_{ n } } \). Muss ich von hier auf \( \frac { 1 }{ 1+{ x }_{ n } } \) kommen?

---

Oder soll ich mit \( { x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 1+\frac {{ f }_{ n } }{ { f }_{ n+1 }}} \) arbeiten?

---

Die letzte Gleichung sollst du ja zeigen; damit kannst du jetzt noch nicht arbeiten.

Nach Definition gilt: \(x_{n+1}=\frac{f_{n+1}}{f_{n+2}}=\frac{f_{n+1}}{f_{n+1}+f_n}.\) Versuch das jetzt mal so umzuformen, dass am Ende \(\frac{1}{1+\frac{f_n}{f_{n+1}}}\) dasteht.

---

Ok, vielen Dank schonmal.

Answer 1

x_n+1 = 1 / ( 1 + x_n  ) = 1 /  (  1  +  f_n / f _n+1  )  =  mit f _n+1  erweitern
=  f _n+1 /  (   f _n+1  + f _n ) =   f _n+1 /  f _n+2 wegen Def von f _n+2

Comments

Muss bei der 2) auch nur umgeformt werden?

---

zu 2)  0,5 ≤ x_n  ≤ 1    sei für ein n erfüllt.
dann gilt:

   1,5 ≤1+ x_n  ≤ 2     und für positive a,b gilt ja immer   a < b  folgt  1/a  >  1/b
also hier 
   2/3  ≥  1 / ( 1 +x_n ) ≥ 0,5
   2/3  ≥  x_n+1  ≥ 0,5    also auch      1 ≥  x_n+1  ≥ 0,5  

zu 3)  ??

zu 4) wenn 3 stimmt, dann hat die Folge x_n einen Grenzwert. g
und für n gegen unendlich wird aus
  x_n+1  = 1 / ( 1+ x_n ) 

g =  1 / ( 1 + g )
und das gilt für    ( -1 ± wurzel(5) ) / 2   und weil das Erg ja pos. sein muss
ist der Grenzwert       ( -1 + wurzel(5) ) / 2