Mathe-Artikel: Integrieren

Question

Bei der Differenzialrechnung wurde durch differenzieren die Ableitungsfunktion bestimmt. Dabei hat man eine Funktion gegeben. Die Ableitung wird mit f´(x) gekennzeichnet

Beispiel: f(x) = 2 x² wird zu f´(x) = 4 x

Nun kommen wir zur Integralrechnung. Dort muss man sozusagen rückwärtsrechnen, sprich man hat die Ableitungsfunktion gegeben und muss die sogenannte Stammfunktion bestimmen. Das ganze nennt man dann integrieren.

Ich verdeutliche es einmal am folgenden Beispiel:

f(x) = x²

Nun bilden wir die Ableitung, also differenzieren

Der Grad verringert sich um 1 und der Funktionsterm wird mit dem Exponenten multipliziert.

f(x) = x ² ist abgeleitet f´(x) = 2 * x^1

Beim integrieren gehst du umgekehrt vor. Der Exponent wird um 1 erhöht und der Funktionsterm mit dem Kehrwert des um eines erhöhten Exponenten multipliziert

f(x) = x² wird dann F(x) = 1/3 x³

Zur Probe können wir F wieder ableiten und erhalten dann wieder f

F´(x) = 3 * 1/3 x² = 1x² = x²

Beim integrieren kommt am Ende der Stammfunktion ein +C. Begründung: Zu einer Funktion f(x) gibt es unendlich viele Stammfunktionen. Die Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich durch die Konstante C.

Beispiel: f(x) = x³

Stammfunktion: F(x) = 1/4 x ^4 + c

Statt einem +c könnte in der Stammfunktion auch + 2 stehen. Die 2 würde beim ableiten dann ja "wegfallen".

Comments

Du hast dir ein schwieriges Thema für deinen ersten Mathe-Artikel herausgegriffen.

Es fehlen leider Details zum Verständnis. Warum gelten die Regeln? Wie sieht das grafisch aus? u.a.

Für den Erstversuch gibt es 25 Bonuspunkte. 

Versuche es doch mit einem anderen Thema, z. B. Pyramidenberechnung, dann könntest du Grafiken von hier (Pyramiden-Formeln) verwenden.

Answer 1

Liebe Jasmin,

der Tipp ist ganz gut, allerdings nur für Polynomfunktionen. Ich finde ihn leider etwas zu kurz. Ich würde noch solche Dinge wie die partielle Integration rein nehmen. Fehlen tut mir persönlich auch, was man denn unter einem Integral überhaupt versteht.

Aber an sich schon ein sehr guter Ansatz! :)

Answer 2

Es fehlen eventuell wichtige Begriffe wie Potenzregel beim Ableiten und Integrieren und Faktorregel beim Ableiten und Integrieren. Eventuell auch Summenregel.

Weiterhin sollte man es meiner Meinung nach immer mal allgemein gültig mit Buchstaben aufschreiben.

f(x) = x^n

Beim Ableiten, kommt der Exponent als Faktor vor das x und der Exponent wird um 1 erniedrigt.

f'(x) = n * x^{n - 1}

Beim Integrieren erhöhen wir den Exponenten um 1 und teilen dann durch den neuen Exponenten bzw. Multiplizieren das x mit dem Kehrwert des neuen Exponenten. Weiterhin erhält man beim Integrieren die Integrationskonstante + C.

F(x) = 1/(n + 1) * x^{n + 1}