Kurvendiskussion // Kurvenschar fa

Question

Hallo Mathe Freaks :)

Ich habe Schwierigkeiten bei einer Aufgabe, da mir bei Kurvenscharen die zusätzliche Variable a Probleme bereitet.

Aufgabe: Führen Sie eine Kurvendiskussion der Kurvenschar fa durch.

fa(x)= -x³+2ax²

Zunächst würde ich die Ableitungen bilden.

fa'(x)=-3x² + 4ax

fa''(x)=-6x+4a

fa'''(x)=-6

Nun die Nullstellen betrachten : 

fa(x)=0 

0=-x³+2ax²  

  = -x²(x-2a)   --> x1=0   v   x2=2a  

NS:(0|0)   ;  (2a|0)

Extremstellen:  fa'(x)=0

0=-3x² + 4ax

0=-3x(x-4/3a)  -->  Ex1(0|0)       Ex2(4/3|y)   Hier habe ich schwierigkeiten die ganzen Variabeln für x in fa(x) einzusetzen. Wie bekomme ich heraus ob es sich um einen TP oder HP handelt, wenn a alle Zahlen sein können?

Wendepunkte:  fa''(x)=-6x+4a=0

0=-6x+4a

6x=4a

x=4/6a --> (4/6a|y)

Hier dasselbe Problem wie oben, liegt vielleicht daran, dass man sich unter a schlecht etwas vorstellen kann

fa'''(x)=-6 --> Links Rechts Wendepunkt

So, hoffe meine Ansätze sind richtig und ihr könnt mir bei den Extrema und Wendepunkten helfen

 

Luis

Comments

Zu den Extrempunkten

0=-3x(x-4/3a) 
x = 0
( 0  | 0 )

x - 4/3 * a = 0
x = 4/3 * a
f ( 4/3a ) =- ( 4/3*a)^3 + 2a*(4/3*a)^2
f ( 4/3a ) =- 64/27 * a^3 + 2a* 16/9 * a^2
f ( 4/3a ) =- 64/27 * a^3 + 32/9 * a^3
f ( 4/3a ) =- 64/27 * a^3 + 96/27 * a^3
f ( 4/3a ) = 32 / 27 * a^3 

( 4/3a | 32 / 27 * a^3 )

Answer 1

bei den Nullstellen bitte noch eine Fallunterscheidung mit a=0 und a≠0.

fa''(x)=-6x+4a

fa''((4/3)a)=-6*((4/3)a)+4a

=-4a

1. Fall: a=0   Terrassenpunkt

2. Fall: a<0   Tiefpunkt

3. Fall: a>0   Hochpunkt

fa((4/3)a)= -((4/3)a)³+2a*((4/3)a)²

Jetzt sollte es einfacher sein, die y-Koordinate zu bestimmen, oder?

LG