Konvergenzradius von Σ (n/3^n) * x^{2n} bestimmen (Hilfe beim Kürzen)

Question

Problem: Σ (n/3^n) * x^{2n}

Ich soll den Konvergenzradius der Reihe

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot x^{2 n} \)

bestimmen.

Ansatz/Problem:

Hab also die übliche Formel angewandt also (an/an+1) und komm dann auf dieses Zwischenergebnis:

(3^{n+1}/(3^n) * (n)/(n+1)

Also beim ersten Bruch müsste sich ja eigentlich alles wegkürzen, außer eben die "letzte Summe" (Hoffe es ist verständlich). Aber wie genau schreib ich das auf?

Answer 1

Ich kürze dir mal den Bruchterm

(3ⁿ⁺¹)/(3ⁿ) * (n)/(n+1)

= (3ⁿ*3)/(3ⁿ) * (n)/(n+1)

= 3n/(n+1) 

= 3/(1 + 1/n)

Wenn du nun den Grenzwert für n--> unendlich brauchst, gibt das 3/(1+0) = 3.

EDIT: Inwiefern ist eigentlich das "2n" bei x^{2n} in deine Rechnung eingeflossen?