Flächeninhalt eines Integrals beweisen

Question

Hi,

Beweisen Sie: Der Graph von f mit f(x)=x² die Tangente an f in P (a / f(a) ) und die y-Achse begrenzen eine Fläche mit den Inhalt A= 1/3a³

Finde dazu keinen Ansatz, könnte mir das jemand erklären mit Vorrechnung?

Danke und LG

Answer 1

Beweisen Sie: Der Graph von f mit f(x)=x² die Tangente an f in P (a / f(a) ) und die y-Achse begrenzen eine Fläche mit den Inhalt A= 1/3a³

Tangente in P hat die Steigung 2a und geht durch ( a / a^2 )

also ist die Gleichung  y = m * x + n und eingesetzt

a^2 = 2a * a + n

n = - a^2                  also Tangente  y = 2a * x - a^2

Dann bekommst du die Fläche durch das Integral von 0 bis a über x^2 - ( 2a * x - a^2 )

= x^2 - 2ax  + a^2

also Stammfunktion  1/3* x^3 - a*x^2 + a^2 *x

jetzt a eingesetzt   1/3* a^3 - a*a^2 + a^2 *a =   1/3* a^3 - a^3 + a^3 =   1/3* a^3   q.e.d.

Comments

hallo mathef,
ausgehend von diesem Kenntnisstand

bestimmt werden soll die Fläche zwischen Kurve, Tangente
und y-Achse.
Die beiden rot markierten Dreiecke sind gleich.
Also ist die Fläche unterhalb der Kurve die gesuchte Fläche.
[ x^3 / 3 ]₀^a
gleich 1/3 * a^3

mfg Georg

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schöne Idee!

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Woher wisst ihr, dass die Steigung 2a ist?

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m=1. Ableitung und a^2 abgleitet ist ja 2a..hat sich erledigt.

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trotzdem komme ich nicht weiter. ich verstehe alles bis zur tangentengleichung...danach verstehe ich nichts mehr...wieso nimmt man das Integral von 0 (woher die 0?) bis zu a...? Und am ende setzt man dann nur a ein...was ist mit ober und untergrenze?

danke und lg

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Georg hat doch so eine schöne Skizze dazu gemacht. Zwischen Tangente und Funktionsgraph und y-Achse

ist der linke Bereich, den er rot gemacht und dazu das weisse Stück oberhalb der x-Achse.

Dieser ganze Bereich wird oben von f(x) und unten von der Tangente begrenzt.

Also berechnest du ihn mit dem Integral f(x) - Tangentengleichung.

Der Bereich reicht vom Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse ( also x=0)

bis zum Berührpunkt der Tangente ( also x=a )

Also muss man rechnen Stammfunktion mit a eingesetzt  ( ob. Grenze )

minus Stammfunktion mit 0 eungesetzt  ( unt. Grenze)

Da das letzte 0 ist, habe ich es gleich weggelassen.

Answer 2

F(x)=1/3 x³

Deine Grenzen sind 0 und a.

F(x)=1/3 a³ - 1/3*0³  = 1/3 a³

LG

Comments

Woher hast du denn die Grenzen? Könntest du das bitte ausführlicher erklären...

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Weist du wie eine Normalparabel f(x)=x² aussieht? Sie hat eine doppelte Nullstelle bei x=0 und ist nach oben geöffnet. Und das a ist ja in dem Fall nichts anderes wie eine x-Koordinate. Ganz allgemein: P (x/y) Unser x ist hier eben einfach a :)

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und was ist mit der Tangente ?

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Schau mal unten. Meine Version ist nicht ganz richtig.

Answer 3

Ich stelle den Nachweis nochmals in aller Kürze dar
( nach Umwegen, Irrungen und Wirrungen )

Gesucht wird die grüne Fläche.

f ( x ) = x^2
f ´( x ) = 2x

f ( a ) = a^2
f´( a ) = 2a

Tangente
y = m * x + b
a^2 = 2a * a  + b
b = - a^2

Die Tangente zwischen den Punkten ( a  | a^2 ) und ( 0 | -a^2 )
schneidet die x-Achse in a/2.

Siehe nun meine preisgekrönte 1.Skizze.
Die beiden roten Dreiecke sind gleich. Das untere Dreieck
paßt ins obere Dreieck.

Die gesuchte Fläche ( grün ) entspricht der Fläche unterhalb der
Funktion zwischen 0 und a.

∫ x^2 dx = x^3 / 3
[ x^3 / 3 ]₀^a
a^3 / 3 - 0^3 / 3
a^3 / 3