Vollständige Induktion (1+x)^n <= 1+(2^n - 1)x

Question

könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? :)

Ich bin bisher soweit gekommen. weiß aber nicht genau wie ich nun "zum Ende" kommen soll.

\( (1+x)^{n} \leq 1+\left(2^{n}-1\right) x \quad \) mit \( 0 \leq x \leq 1 \)

I. Induktionsanfang (hier: \( n=1): \)

Links: \(\quad(1+x)^{1}=1+x\)

Rechts: \( \quad 1+\left(2^{1}-1\right) x=1+(2-1) x=1+x \)

Links \( =1+x \leq 1+x= \) Rechts \( (O . K .) \)

2. Induktionsannahme:
Gelte für ein \( n \in \mathrm{N}: \quad(1+x)^{n} \leq 1+\left(2^{n}-1\right) x \quad \text { mit } 0 \leq x \leq 1\)

3. Induktionsschluss:
\( z z \). aus Schritt 2 folgt \( (1+x)^{n+1} \leq 1+\left(2^{n+1}-1\right) x \)

Dazu: \( \quad(1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}(1+x) \leq 1+\left(2^{n+1}-1\right) x \)

Annahme aus Schritt 2 einsetzen

\( \Rightarrow \quad\left(1+\left(2^{n}-1\right) x\right)(1+x) \leq 1+\left(2^{n+1}-1\right) x \)
\( \Rightarrow \quad\left(1+2^{n} x-x\right)(1+x) \leq 1+\left(2^{n+1}-1\right) x \)
\( \Rightarrow \quad 1+2^{n} x-x+x+2^{n} x^{2}-x^{2} \leq 1+\left(2^{n+1}-1\right) x \)
\( \Rightarrow \quad 2^{n} x-x+x+2^{n} x^{2}-x^{2} \leq 2^{n+1} x-x \)
\( \Rightarrow \quad 2^{n} x+2^{n} x^{2}-2^{n+1} x \leq x^{2}-x \)
\( \Rightarrow \quad 2^{n} x+2^{n} x^{2}-2^{n+1} x \leq x^{2}-x \)
\( \Rightarrow \quad 2^{n}\left(x+x^{2}-2 x\right) \leq x^{2}-x \)
\( \Rightarrow \quad 2^{n}\left(x^{2}-x\right) \leq x^{2}-x \)

Nun weiß ich leider nicht ob ich auf dem richtigen Weg bin bzw. wie ich nun weiter umformen soll?
Kann ich beide Seiten durch x^2 - x teilen, um 2^n <= 1 zu erhalten? Mir ist nicht ganz klar wie ich nun zeige das es korrekt ist (insofern es das überhaupt ist).

Vielen Dank schonmal. :)

Answer 1

Ist doch prima; Du musst ja nur zeigen, dass deine äquivalent umgeformte Ungleichung
für alle n >=1 und für alle x aus [0;1] richtig ist.
Die Idee mit dem Teilen sollte ja den Weg dahin zeigen, allerdings musst du da etwas vorsichtig sein.
wenn nämlich x=0 oder x=1 ist, dann ist x^2-x = 0 und durch 0 kann man nicht teilen,
allerdings ist das dann auch kein Problem,
Du sagst:  1. Fall :   x=0 oder x=1
dann steht da ja  2^n * 0 <= 0 und das ist sicherlich wahr
für alle n>=1.
2. Fall 0<x<1 dann ist  x^2-x < 0 und du kannst teilen, wegen <0 dreht sich aber das Zeichen rum
und du hast   2^n >= 1   und das ist gewiss für alle n>=1 wahr.
                                                                                                                  q.e.d.