Wie zeige ich, dass jede Funktion f: Z->Z stetig ist?

Question

Frage wie im Titel und dann dazu noch die Frage, wie man zeigt, dass die Funktion nirgendwo einen Grenzwert besitzt?

Ich stehe leider komplett aufm Schlauch :(

Answer 1

Die Definition für Stetigkeit lautet:

∀ε>0∃δ>0∀x∈ℤ: |x-x₀|<δ ⇒ |f(x) - f(x₀)| < ε

Und das ist für alle f wahr, denn für beliebiges ε wählt man einfach δ=1, dann lautet die Aussage:

Für alle ganzen Zahlen x gilt: wenn ihr Abstand zu x₀ kleiner ist als 1, dann ist der Abstand zwischen f(x) und f(x₀) kleiner als ε.

Nun gibt es aber nur eine Zahl in ℤ, deren Abstand zu x₀ kleiner als 1 ist, nämlich x₀ selbst. Alle anderen Zahlen haben mindestens den Abstand 1. Damit ist die Bedingung trivial für alle x erfüllt, also ist f überall stetig.

 

Grenzwerte sind nur in Häufungspunkten des Definitionsbereichs definiert, also Punkten, in deren Nähe unendlich viele weitere Punkte liegen.
Das ist in ℤ aber nicht gegeben: legt man eine Kreisscheibe vom Radius R<1 um einen beliebigen Punkt x₀, so liegt außer x₀ überhaupt kein weiterer Punkt in dieser Scheibe, also ist x₀ kein Häufungspunkt.