Beweise direkt/indirekt x*y≤((x+y)/2)^2

Question

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Ich bin hier an einer Aufgabe die mir Kopfweh bereitet.

Zu beweisen ( direkt) x*y≤((x+y)/2)^2

Direkt heißt ja grob gesagt einfach durch Umformen die Aussage als richtig darzustellen. Also am ende sowas wie 0≤0 => 0=0 => Korrekt ! zu bekommen.

Hab ich leider überhaupt nicht geschafft und indirekt ..... Kann ich mir nichts zu einfallen lassen.

Kann mir da einer helfen?

!

Answer 1

$$$$für alle \(x,y\in\mathbb R\) gilt \((x-y)^2\ge0\)$$\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0$$$$\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy$$$$\Leftrightarrow\frac{x^2+2xy+y^2}4\ge xy$$$$\Leftrightarrow\left(\frac{x+y}2\right)^2\ge xy.$$

Comments

Zuerst danke dafür das du Zeit für meine Frage gefunden hast.

Ich bin mir nur nicht sicher ob das so als direkter Beweis ausreicht. Ich meine den Rechenweg den du gegangen bist , habe ich oft eingeschlagen aber dann immer weitergemacht um iwann hoffentlich auf 0=0 zu kommen ( oder sowas in der Art). Hab auch folgendes bekommen: 2 ≤ a/b +b/a um dann Argumentieren zu können das       a und b≠0 sind. etc.

Kurz gesag, ist das echt so izi?

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Da es sich sämtlich um Äquivalenzumformungen handelt, gilt die letzte Ungleichung, da erstere offensichtlich wahr ist. Du kannst aber auch folgendermaßen argumentieren:$$\left(\frac{x+y}2\right)^2-xy=\frac{x^2+2xy+y^2}4-xy=\frac{x^2-2xy+y^2}4=\left(\frac{x-y}2\right)^2\ge0,$$woraus die Behauptung folgt.

Answer 2

Auf der rechten Seite steht etwas positives oder null.
Die Aussage stimmt also.

mfg Georg