Lösen eines Systems von Differentialgleichungen 1. Ordnung (konstante Koeffizienten)

Question

Zur Zeit versuche ich mir klarzumachen, wie man für ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizien eine Lösung findet.

Also Lösung von dx/dt = A x(t)

(wobei A eine nXn-Matrix mit konstanten Koeffizienten ist und x ein Vektor mit n Komponenten (zeitabhängig))

Mir ist bekannt, wie man eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung löst, aber, dass der (Matrix-)Exponentialansatz auch bei einem System solcher Diff-Gleichungen funktioniert, dürfte in der Theorie nicht ganz so leicht zu verstehen sein.

Als Antwort auf diese Frage würde ich mir lediglich einen Verweis auf ein gutes Buch oder Skript wünschen, der mir weiterhilft und wo die nötige lineare Algebra nicht zu mathematisch formuliert ist, also nicht ausschließlich durch Sätze und Beweise, sondern auch ein bisschen Fließtext mit zusätzlichen Erläuterungen.

Aber natürlich freue ich mich auch über direkte Erklärungsversuche!

Danke schon mal und bis bald,

lG

Answer 1

Hi,
\( e^{At} \) ist definiert als $$ e^{At} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(At)^n}{n!} $$
Damit ergibt sich $$ \frac{d}{dt}e^{At} = A\sum_{k=0}^\infty \frac{n(At)^{n-1}}{n!}  $$
Der erste Term Summe entfällt, da ja dafür \( n = 0 \) gilt, also bleibt noch übrig
$$ \frac{d}{dt}e^{At} = A\sum_{k=1}^\infty \frac{(At)^{n-1}}{(n-1)!} = A\sum_{k=0}^\infty \frac{(At)^{n}}{n!} = Ae^{At} $$
Für $$ y(t) = e^{At}y_0 $$ gilt also
$$ y'(t) = A y(t)  $$ und \( y(0) = y_0 \)
Damit löst $$ y(t) = e^{At}y_0 $$ die Dgl. $$ y'(t) = Ay(t) $$ mit \( y(0) = y_0 \)
Das ist schon die ganze Theorie.
Man kann jetzt \( e^{At} \) auf verschiedene Arten berechnen, einmal in dem man die Potenzreihe berechnet oder man bestimmt die Eigenwerte und Eigenvektoren, und bestimmt eine Matrix \( T \) für die gilt $$ A = TDT^{-1} $$ Mit so einer Matrix \( T \) ergibt sich \( e^{At} \) zu
$$ e^{At} = T e^{Dt}T^{-1} $$ und die Matrix \( e^{Dt} \) ist eine Diagonalmatrix, auf dessen Diagonale \( e^\lambda t \) steht mit \( \lambda \) ist ein Eigenwert der Matrix \(A \)

Comments

Vielen lieben Dank für diese Antwort.

Das hilft mir schon mal.

Dann noch eine kleine Zusatzfrage:

Im eindimensionalen Fall kann ich dx(t)/dt = a * x(t) ja ganz einfach durch Integration über die Zeit von t_0 bis t lösen.

Mich würde nun interessieren, ob dies im eingangs erwähnten Fall (Gleichungssystem) ebenso analog lösen kann und nicht nur überprüfe, ob der Matrix-Exponentialansatz meine Gleichung erfüllt.

Lg und danke schon einmal =)

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Was meinst Du mit "eingangs erwähnten Fall (Gleichungssystem)"

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Entschuldige bitte meine schlechte Ausdrucksweise, ich meinte

dx/dt = A x(t)

(wobei A eine nXn-Matrix mit konstanten Koeffizienten ist und x ein Vektor mit n Komponenten (zeitabhängig))

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ich weiss nicht genau was Du mit Integrieren der Dgl. \( x'(t) = a x(t) \) meinst. Also durch \( \int_{t_0}^t x'(s) ds = a \int_{t_0}^t x(s) ds \) kommt man ja nicht zum Ziel, weil man die Funktion \( x(t) \) nicht kennt und deshalb auch nicht integrieren kann. Lösen kann man die Dgl. durch trennen der Variablen, also so $$  \frac{dx(t)}{x(t)} = a dt $$ und das kann man jetzt integrieren, da jetzt die rechte Seite bekannt ist und nach Integration über die Zeit \( at +C \) ergibt mit einer beliebigen Integrationskonstanten. Die linke Seite ergibt \( ln(x(t)) \). Damit hat man insgesamt 

$$ x(t) = e^{at+C} = x_0e^{at} $$ mit \( x_0 = e^C \)

Diesen Weg kann man bei einem System von Dgl. aber nicht einschlagen, da die Division durch einen Vektor nicht erlaubt ist. Deshalb bleibt nur die Möglichkeit über dem Matrix Exponentialansatz und den Eigenvektoren.

Beantwortet das Deine Frage?