Hi,
bei der Aufgabe muss man zuerst mal annehmen, dass die Koordinaten in einem gemeinsamen globalen Sternenkoordinatensystem gegeben sind und nicht etwa auf eine Planeten bezogen. Gegeben sind folgende Koordinaten
\( s_0 = \begin{pmatrix} -15 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix} \) und \( s_2 = \begin{pmatrix} -17 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} \) sowie
\( s^{\star}_0 = \begin{pmatrix} -17 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} \) und \( s^{\star}_1 = \begin{pmatrix} -16 \\ -1 \\ 10 \end{pmatrix} \)
zu (a)
\( \left| s_0 - s^{\star}_0 \right| = \sqrt{ (-15+17)^2+(7+3)^2+(11-8)^2 } = \sqrt{2^2 + 10^2 + 9} = \sqrt{113} \)
zu (b)
Bei den Bahngleichungen geht man davon aus, dass die Bewegung der Sternenjäger auf Geraden erfolgt. Eine Gerade ist definiert durch einen Aufpunkt und ein vielfaches der Richtung, also ergibt sich die Bahngleichung von Luke zu \( f(t) = s_0 + \frac{t}{2}(s_1 - s_0) = \begin{pmatrix} -15 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix} + \frac{t}{2} \left[ \begin{pmatrix} -17 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -15 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} -15 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix} + \frac{t}{2} \begin{pmatrix} -2 \\ -10 \\ -3 \end{pmatrix} \)
Die Bahn von Darth Vader berechnet sich genauso, also \( g(t) = s^{\star}_0 + t(s^{\star}_1 - s^{\star}_0) = \begin{pmatrix} -17 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} + t\left[ \begin{pmatrix} -16 \\ -1 \\ 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -17 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} -17 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \)
zu (c)
Luke fliegt in 2 Sternenstunden \( \left| s_2 - s_0 \right| = \sqrt{113} \) Sternenkilometer, also hat er ein Geschwindigkeit von \( v = \frac{\left| s_2 - s_0 \right|}{2} = \frac{\sqrt{113}}{2} = 5.315 \) und Darth Vader fliegt in einer Sternenstunden
\( \left| s^{\star}_1 - s^{\star}_0 \right| = \sqrt{ (-16+17)^2 + (-1+3)^2 +(10-8)^2 } = 3 \)
also fliegt Luke schneller
zu (d)
Wenn die Raumschiffe parallel fliegen sollten, müssen die Richtungsvektoren der Bahgleichungen linear abhängig sein, d.h. es muss für das folgende Gleichungssystem eine Lösung für \( \lambda \) existieren,, s.d. \( s_2 - s_0 = \lambda ( s^{\star}_1 -s^{\star}_1 ) \) gilt. Die Werte eingesetzt ergibt \( \begin{pmatrix} -2 \\-10\\-3 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\2\\2 \end{pmatrix} \) Wie man sieht, gibt einen einzigen solchen Wert für \( \lambda \) nicht. Aus der ersten Gleichung folgt \( \lambda = -2 \) und aus der zweiten Gleichung folgt \( \lambda = -5 \) Also sind die Bahnen nicht parallel.
zu (e)
Der Abstand der Bahnen der Raumschiffe berechnet sich zu \( d(t) = \left| f(t) - g(t) \right| = \sqrt{ (2-2t)^2 + (10-7t)^2 +\left(3-\frac{7}{2}t\right)^2 } \). D.h. man muss die Funktion \( d(t) \) minimieren. Also löst man die Gleichung \( \frac{d}{dt}d(t) = 0 \) nach \( t \) auf. Es gilt \( \frac{d}{dt}d(t) = \frac{261t - 338}{2 \sqrt{ 261t^2 - 676t +452 }} \) Die Lösung der Gleichung ist \( t = \frac{338}{261} = 1.295 \) Damit können die Raketen von Darth Vader das Raumschiff von Luke erreichen.
zu (f)
Hier ist die Frage, ob die Bahnen von Luke und Darth Vader einen Schnittpunkt haben, unabhängig von der Zeit, wann die Sternenjäger starten. D.h. man muss das folgende Gleichungssystem lösen
\( s_0 + \lambda (s_2 - s_0 ) = s^{\star}_1 + \mu \left( s^{\star}_1 - s^{\star}_0 \right) \) Das ergibt folgendes
\( \begin{pmatrix} -\lambda -15\\7 - 5\lambda\\11-\frac{3}{2}\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mu-17\\2\mu -3\\2\mu +8 \end{pmatrix} \) Die Lösungen sind \( \lambda = 2 \) und \( \mu = 0 \)
D.h. der einzige Schnittpunkt der Sternenjägerbahnen liegt auf dem Planeten Naboo.
zu (g)
Hier gilt für den zu suchenden Richtungsvektor\( r \) folgende Gleichung
\( s_0 + r = g(2) \) also \( r = \begin{pmatrix} -15\\7\\11 \end{pmatrix} + r = \begin{pmatrix} -15\\1\\12 \end{pmatrix} \)
Also gilt \( r = \begin{pmatrix} 0\\-6\\1 \end{pmatrix} \)
