Schnittpunkt in der Hesseschen Normalenform

Question

Gegeben sind die 4 Punkte. $$ { P }_{ 1 }=(1,0,1)\quad { P }_{ 2 }=(0,1,0)\quad { P }_{ 3 }=(1,0,-1){ \quad P }_{ 4 }=(0,-1,0) $$

a.) P1-3 definieren E_A und P2-4 definieren E_B geben sie die Paramterdarstellung an

b.) Geben sie für beide Ebenen jeweils die HNF an

c.) Berechnen Sie die Schnittgerade beider Ebenen in Parameterform aus den HNFs.

Lösung zu a.)

$$ { E }_{ A }:\vec { x } =\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) +r\left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right) +s\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right)  $$

$$ { E }_{ B }:\vec { x } =\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) +u\left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{matrix} \right) +v\left( \begin{matrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right) $$

Lösung zu b.)

$$ { E }_{ A }:\left( \vec { x } -\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right)  \right) *\left( \begin{matrix} \frac { -2 }{ \sqrt { 8 }  }  \\ \frac { -2 }{ \sqrt { 8 }  }  \\ 0 \end{matrix} \right) =0 $$

$$ { E }_{ B }:\left( \vec { x } -\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right)  \right) *\left( \begin{matrix} \frac { -2 }{ \sqrt { 8 }  }  \\ 0 \\ \frac { -2 }{ \sqrt { 8 }  }  \end{matrix} \right) =0 $$

Aber wie löse ich die c.)? Ich brauch die Schnittgerade aus den HNFs und muss Sie dann in eine Parameterdarstellung umwandeln

Answer 1

Ich gebe die Ebenen mal in Koordinatenform an. Die ist wesentlich schöner.

EA: x + y = 1

EB: x + z = 0

Man sieht so schon das [0, 1, 0] beide Gleichungen erfüllt. Braucht mal also eigentlich nur noch die Richtung. Die ist aber genau senkrecht zu beiden Normalenvektoren.

[1, 1, 0] ⨯ [1, 0, 1] = [1, -1, -1]

Daher ist die Schnittgerade

X = [0, 1, 0] + r·[1, -1, -1]

Comments

Aber dann hat man ja die Shnittgerade aus der Koordiantenform und nicht aus der HNF errechnet.

Wie kann man das denn aus der HNF berechnen?

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In der HNF hast du ja auch die Normalenvektoren. Multiplizier diese mit √8 und bilde dann das Kreuzprodukt. Das ist ja egal woher du sie nimmst. Du kommst auf den Gleichen Richtungsvektor.

Auf einen geeigneten Punkt solltest du auch durch bloses ansehen der HNF kommen.

Ich habe eigentlich mehr für mich die Koordinatenform aufgeschrieben, weil ich die persönlich schöner finde.

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Wie kommst du auf den Punkt (0,1,0) der ja Stützvektor bei der Schnittgeraden ist?

wie sieht man dann?

Kreuzprodukt der normalenvektoren als Richtungsvektor verstehe ich, aber nicht wie ich auf den Stützvektor komme?

Oder nehm ich als Stützvektor einfach einen der Sützvektoren von den beiden Ebenen

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Nimm den Vektor (x, y, z) Schau mal was du für y einsetzen müsstest damit die zweite HNF gelöst werden kann. Für (x, 1, -x) wäre das der Fall. Nun schaust du auf die erste HNF und schaust was du da einsetzen musst damit diese erfüllt ist. Du kannst natürlich auch ein Gleichungssystem aufstellen und das lösen.

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aber wenn ich in der ersten hnf 0 1 0 einsetzte kommt da doch (0/-2/wurzl8/0) raus und bei der zweiten hnf kommt (0/0/0)raus?

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Meine Ea wäre auch x+z=-2

und Eb  wäre y=-0..

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Setze mal [0,1,0] richtig ein. Dann sollte auch 0 heraus kommen.