globales Maximum und Minimum mit Lagrange-Multiplikator lösen!

Question

Die Aufgabe die ich Lösen muss lautet:

Sei K = Z ∩ E ⊂ ℝ³ der Schnitt des Zylinders Z = {(x,y,z) ∈ ℝ³ Ι x² + y² = 1} und der Ebene

E = {(x,y,z) ∈ ℝ³ Ι x + z = 0} und sei f: K → ℝ, f (x,y,z) = 3y + 4z.

Begründen Sie kurz, warum f ein globales Maximum und Minimum hat. Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren die globalen Extrema.

Comments

Teilweise kann ich vielleicht bei dem zweiten Teil helfen:

L = 3y + 4z + λ (x^2+y^2-1) + μ (x+z)

L_x = 2λx + μ = 0

L_y = 3 + 2 λy = 0

L_z = 4+μ = 0

zusammen mit x^2+y^2-1=0 und x+z = 0.

Es ist also μ=-4. Dann bleiben die vier Gleichungen übrig, vorausgesetzt λ≠0:

x  = 2/λ

y = -3/(2λ)

x^2+y^2=1

z = -x.

Also x1 = 0,8, y1 = -0,6, z1 = -0,8 und λ1 = 2,5.

Oder x1 = -0,8, y1 = 0,6, z1 = 0,8 und λ1 = -2,5.

Answer 1

Hi,
die möglichen Extremstellen hast Du schon in der ersten Antwort bekommen. Nun musst Du die Hessematrix aufstellen an den beiden in Frage kommenden Punkten und musst die Definitheit überprüfen. Du wirst aber sehen, dass die Hessematrix semidefinit ist. Damit kann man meiner Meinung nach mit dieser Methode keine Aussage über Maximum und Minimum an den betreffenden Stellen treffen.