Einer Kugel soll ein Zylinder einbeschrieben werden

Question

Aufgabe:

Einer Kugel mit dem Radius r = 9 cm soll ein Zylinder einbeschrieben werden, dessen Inhalt ein Viertel des Kugelinhaltes beträgt.

Welche Höhe h und welchen Radius R hat der Zylinder? (2 Dezimalen)

Unser Thema ist im moment Näherungsweise Berechnung von Nullstellen, aber wie kann man das da anwenden?

Answer 1

Hi,

ich versuch mich mal ;).

Das Volumen der Kugel bei R=9cm:
V_K=(4/3)πr³
V_K=(4/3)π*9³ -> V_K=3053,63 cm³

Volumen des Zylinders:
V_Z=R²πh
V_Z= (1/4)*V_K -> V_Z=763,41 cm³

 

Nun bedenke (oder mach Dir eine Skizze), dass die Kugel als Kreis und der Zylinder las einbeschriebene Rechteck angesehen werden kann, dessen Länge gleich die Höhe und dessen Breite der Durchmesser des Zylinders ist.

Also:

h/2 = √(r²-R²)

Das nun in das Volumen des Zylinders einsetzen:

763.41 = 2R²π√(r²-R²)

763.41² = 4R⁴π²(r²-R²)

Ausklammern und alles auf eine Seite bringen:

-4π²R⁶ + 4r²π²R⁴ - 763.41² = 0

Dies nun mittels Näherungsverfahren (Newton etc) lösen:

R_1,2=±8,87; R_3,4=±3,87 (R_5,6 sind nicht reell)

 

Uns interessieren nur die Lösungen R₁=8,87 und R₂=3,87 (negative Radien gibt es nicht).

Damit kann man dann auch h berechnen:

h₁=763,41/(πR₁²)=3,09

h₂=16,23

 

Die Lösungen sind also:

R₁=8,87 cm und h₁=3,09 cm
sowie
R₂=3,87 cm und h₂=16,23 cm

 

Grüße
 

Answer 2

Betrachten wir zunächst den Querschnitt, um die Abhängigkeit von h und r zu untersuchen:

Daran erkennt man mit dem Satz des Pythagoras:

R^2+(h/2)^2 = r^2

R^2 + h^2/4 = r^2

R^2 = r^2-h^2/4

Für das Volumen des Zylinders gilt:

V_Z = πhR^2

Für das Volumen der Kugel:

V_K = 4/3 π r^3

Nun soll V_Z = V_K/4 gelten:

πhR^2 = 1/3 π r^3

hR^2 = 1/3 r^3

Setzt man nun das ermittelte Verhältnis für R^2 ein:

h(r^2-h^2/4) = 1/3 r^3

h^3/4 - hr^2 + 1/3 r^3 = 0

Nun setzt man den Radius r = 9cm ein:

h^3/4 - 81h + 243 = 0

Die Lösungen kann man nun mit einem der gängigen Verfahren (z.B. Newton-Verfahren) bestimmen:

h₁ ≈ -19.3454
h₂ ≈ 3.0911
h₃ ≈ 16.2542

wobei man die erste Lösung noch streichen kann, weil Längen stets positiv sein sollten.