Ableitung von Funktionen mit Wurzel, cos und sin

Question

Wie leite ich folgende Gleichungen ab?

a) \( f(x)=\sqrt{x+e^{\ln \left(\cos \left(2 x^{2}\right)\right.}} \)

b) \( f(x)=\cos (x) * \sqrt{e^{-\sin (2 x)}} \)

c) \( f(x)=\frac{x^{2}}{\cos (x)} e^{x^{2}} \)

Comments

Du brauchst die Kettenregel, die Produktregel und eventuell wenn es dir gefällt auch die Quotientenregel.

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Die Regeln sind mir alle bekannt und kann ich auch anwenden.

Aber wie verhält sich das mit dem differenzieren bei z.B. cos(2x²) oder -sin(2x)?

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"kann ich auch anwenden" anscheinend nicht, dann wüsstest du, dass

\( \left( cos(2x^2) \right)' = -\sin(2x^2) \cdot (2x^2)' = -4x \sin(2x^2) \)

Hier wurde die Kettenregel verwendet.

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Die Anwendung der Kettenregel war mir bekannt, nur nicht, dass ich sie hier ebenfalls anwende! War ja meine Frage, nach welchen Regeln ich hier vorgehen muss.

Trotz allem danke für deine Antworten

cos(2x²) = -4x sin(2x²)

-sin(2x) = -2cos(2x)

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Das ist so als ob man sagen würde: ich weiß wie ein Bohrer funktioniert aber mir war nicht bekannt, dass man damit Löcher bohren kann!

Du hast zwar nach den Regeln gefragt aber du wolltest eigentlich auch wissen wie sie anzuwenden sind, also steh auch dazu.

Answer 1

Entscheidend ist da wohl die Kettenregel, profan formuliert etwa so:

Ableitung von sin(x) ist cos(x)

Aber: Ableitung von sin(irgendwas) = cos (irgendwas) *  irgenwas '

Also z.B. bei sin(x^2)  ist die Ableitung cos(x^2) * 2x

Und bei Wurzel genauso:

√(x) hat die Ableitung 1 / 2·√(x)

Aber: Wurzel(irgendwas) hat die Ableitung 1 / 2 Wurzel( irgendwas) *  Ableitung von irgendwas

Bei dem ersten Beispiel ist ja sowieso vereinfacht: e ^{ln( cos ( 2x^2 ) )} = cos ( 2x^2 )

Dann wäre also die Ableitung:

1 / ( 2* √(x + cos(2x^2))) · (1 - sin(2x^2) · 4x)

Answer 2

a)

Kann man den Term nicht vereinfachen zu

f(x) = √(x + COS(2·x^2)) = (x + COS(2·x^2))^{1/2}

f'(x) = 1/2·(x + COS(2·x^2))^{- 1/2} · (1 + (- SIN(2·x^2)) · (4·x))

f'(x) = (1 - 4·x·SIN(2·x^2))/(2·√(COS(2·x^2) + x))