Integration durch Substitution ∫ 5/(2+3x) dx

Question

Früher was das Integrieren durch Substitution kein Problem für mich, aber irgendwie klappt es hier nicht. Was mache ich falsch?

\( \int \frac{5}{2+3 x} d x \)

\( \begin{aligned} 2+3 x=z \\ 3=z^{\prime} &=\frac{d z}{d x} \\ d x &=\frac{d z}{3} \end{aligned} \)

\( \int \frac{5}{z} \cdot \frac{d z}{3}= \)

\( \frac{5}{3} \int z^{-1} d z \mid= \)

\( \frac{5}{3} \cdot \frac{z^{0}}{0 \cdot 1}=\frac{5}{3} \)

Answer 1

Stammfunktion für z^{-1} ist ln(z).

Deine Formel gilt für alle anderen Hochzahlen, aber nicht für -1.

Comments

Gut, dann erhalte ich 5/3ln(z)

setze für z ein: 5/3ln(2+3z)

macht im intervall von 0 bis 1: 5/3*ln(5)

die richtige Lösung wäre aber 5/3*ln(5/2)

Irgendwo muss noch 1/2 her. Aber ich weiß nicht von wo...

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Wenn du 0 einsetzt gibt es nicht einfach 0. Vereinfach dann mit Logarithmusgesetzen.

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macht im intervall von 0 bis 1: 5/3*ln(5)  Das stimmt nicht ganz:

5/3*ln(5)  -   5/3*ln(2)     Du musst ja   F(1)  -  F(0) rechnen !
= 5/3 * (   ln ( 5 ) - ln ( 2)  )
= 5/3 * ln (5/2)