Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Schaubild von f und der Geraden g begrenzt wird.

Question

Aufgabe Integralrechnung:

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Schaubild von \( \mathrm{f} \) und der Geraden \( g \) begrenzt wird.

a) \( f(x)=x^{3}-x \)  \( g(x)=1-x^{2} \)

b) \( f(x)=2 x^{2}-3 \)  \( g(x)=8 x-x^{2} \)

Answer 1

f(x) = x^3 - x
g(x) = 1 - x^2

d(x) = f(x) - g(x) = (x^3 - x) - (1 - x^2) = x^3 + x^2 - x - 1 = 0

Ich erkenne eine Nullstelle bei 1 und mache eine Polynomdivision

(x - 1)·(x + 1)^2 = 0

Wir erhalten also die Lösungen ± 1. Das sind unsere Integrationsgrenzen

D(x) = x^4/4 + x^3/3 - x^2/2 - x

∫ (-1 bis 1) d(x) dx = D(1) - D(-1) = - 4/3

Die Fläche beträgt also 4/3.

Probiere es bei b) genauso.

Comments

Das Also oben hast du die beiden Gleichungen gleichgesetzt ?

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d(x) = f(x) - g(x) = (x³ - x) - (1 - x²)

Ich Bilde die Differenzfunktion. Damit erhalte ich eine Funktion, die mir den Funktionswertsunterschied der beiden Funktionen für eine Stelle x angibt. 

Ist also die Differenz 0 schneiden sich die Graphen. ansonsten bekommt man immer den Abstand der Graphen.

Integriert man über die Abstände erhält man die Fläche zwischen zwei Graphen.

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Hast du das beim differenzieren einfach alles auf eine Seite gebracht ?

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Wo wird hier Differenziert ? Man bildet eine Differenzfunktion

d(x) = f(x) - g(x)

d(x) ist also eine Funktion

d(x) = 0 gibt mir also die Bedingung für die Stellen an denen die Funktionswerte von f und g identisch sind.

Bitte versuche doch mal genauer zu erläutern mit welcher Zeile du ein Problem hast?