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Erklärung zu Konvexität
Zunächst ist es wichtig zu verstehen, was eine konvexe Funktion ist. Eine Funktion \(f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) ist konvex, wenn für jedes Paar von Punkten \(x_1, x_2 \in [a, b]\) und für jedes \(\lambda \in [0, 1]\) gilt, dass
\(
f(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2).
\)
Diese Eigenschaft spiegelt die Idee wider, dass die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten auf der Kurve niemals unter der Kurve liegt. Konvexität wird bei der Beweisführung der Ungleichungen eine zentrale Rolle spielen.
Teil a) Beweis
Um \(2 f \left( \frac { a + b } { 2 } \right) \leq f ( x ) + f ( a + b - x )\) zu beweisen, nutzen wir direkt die Definition der Konvexität.
Setze \(x_1 = x\), \(x_2 = a + b - x\), und \(\lambda = \frac{1}{2}\), da wir den Mittelpunkt und die Symmetrie im Intervall betrachten. Beachte, dass \(x_1 + x_2 = x + (a + b - x) = a + b\), was bedeutet, dass der Mittelwert von \(x_1\) und \(x_2\) gleich \(\frac{a + b}{2}\) ist, was dem \(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2\) entspricht, wenn \(\lambda = \frac{1}{2}\).
Nun, durch direktes Anwenden der Konvexitätsdefinition:
\(
f\left( \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (a + b - x) \right) \leq \frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2} f(a + b - x),
\)
vereinfacht sich zu
\(
f\left( \frac{a + b}{2} \right) \leq \frac{1}{2} \left[ f(x) + f(a + b - x) \right].
\)
Multiplizieren beider Seiten mit 2 ergibt die gewünschte Ungleichung:
\(
2 f \left( \frac{a + b}{2} \right) \leq f(x) + f(a + b - x).
\)
Teil b) Beweis
Für den zweiten Teil nutzen wir die lineare Interpolation und die Eigenschaft der Konvexität, um zu zeigen, dass
\(
f(x) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) + f(a).
\)
Wir betrachten zwei Punkte, \(a\) und \(b\), auf der Kurve der Funktion \(f\). Für einen beliebigen Punkt \(x \in [a, b]\), können wir \(\lambda \in [0, 1]\) so wählen, dass \(x = \lambda b + (1 - \lambda) a\).
Durch Umstellen erhalten wir \(\lambda = \frac{x - a}{b - a}\). Die Konvexität von \(f\) impliziert, dass
\(
f(x) = f\left(\lambda b + (1 - \lambda) a\right) \leq \lambda f(b) + (1 - \lambda) f(a).
\)
Ersetze \(\lambda\) durch den oben berechneten Wert:
\(
f(x) \leq \frac{x - a}{b - a} f(b) + \left(1 - \frac{x - a}{b - a}\right) f(a) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a) + f(a).
\)
Somit haben wir gezeigt, dass die Konvexität von \(f\) die genannten Ungleichungen impliziert. Konvexe Funktionen sind also in ihrer eigenen Weise "eingeschränkt", indem ihr Wachstum in einem Intervall nicht "schneller" sein kann als das durch die Endpunkte ihres Definitionsbereichs definierte lineare Wachstum.
