Ableiten der Funktion f(x) = 0,5*(x*sqrt(1+x^2) + ln (x+ sqrt(1+x^2)))

Question

wir sollen beweisen, dass ∫(√(1+x^2)) dx = 0,5* ( x* √(1+x^2) + ln (x+√(1+x^2))) gilt. Also werde ich die gegebene Stammfunktion ableiten, um so auf meine Funktion zu kommen.

Die 0,5 als konstanten Faktor lasse ich vorne stehen. x* √(1+x^2) hierbei wende ich die Produktregel an. Jedoch weiß ich nicht wie ich bei ln (x+√(1+x^2)) vorgehen soll. Mein Rechenschritt, bis auf den letzten Teil sieht also wie folgt aus:

= 0,5*( 1*√(1+x^2) + x* (1/2)*(1+x^2)^{-1/2} * 2x + der ln Teil

= 0,5*(√(1+x^2)+( x/√(1+x^2) ) + ln Teil

Meine Frage ist also, ob ich bisher richtig vorgegangen bin und wie ich den ln-Teil ableite.

Comments

Der Weg ist schon gut.

2. Teil mit Kettenregel ableiten.

ln(x) ' = 1/x

ln(u) ' = (1/u) * u'

---

habe dann für den ln teil : 1/(x+√(1+x^2)) * 1+x/√1+x^2)

Insgesamt also vereinfacht:

0,5*(√(1+x^2) + x^2/√(1+x^2) + (1+ (x/ (√(1+x^2))) / (x+√(1+x^2)))

---

.

gut - aber warum machst du nicht weiter?

beim ln-Teil kannst du zuerst mit √(1+x²) erweitern

und dann kürzen mit x+√(1+x²)

so bleibt dir dann für diesen Summanden -> 1 / √(1+x²)

nun kannst du deine drei Summanden der Gesamtableitung

zusammenfassen und bekommst dann schnell das erfreuliche

Gesamtergebnis -> √(1+x²) für deine mühsame Ableiterei ..

probier es ..

---

(1+ (x/ (√(1+x²))) / (x+√(1+x²))) wenn ich diesen teil mit √(1+x²) erweitere, kommt dann nicht (√(1+x²)+x) / (x+√(1+x²)) raus? oder habe ich was falsch verstanden?

---

Wenn du den Gesamtterm lange genug vereinfacht hast, kommst du auf: (√(1+x²)). 

---

Also ich habe ja den term:

0,5*(√(1+x²) + x²/√(1+x²) + (1+ (x/ (√(1+x²))) / (x+√(1+x²))) soll ich den schritt, den Gast bh884 vorgeschlagen hat machen oder nicht? Meiner Meinung nach kommt dann dafür (√(1+x²)+x) / (x+√(1+x²)) raus, was ja 1 ist

---

.

raus? oder habe ich was falsch verstanden?

ja - hast du :

wenn du mit -> √(1+x²) erweiterst, dann hast du diesen Term nachher auch im Nenner

und der gesamte Bruch sieht dann so aus

-> (√(1+x²)+x) / [ (x+√(1+x²)) * √(1+x²) ]

.. was dann gekürzt dies ergibt ->  1 / √(1+x²)

endlich klar ?

---

Vielen dank, bin jetzt auf das richtige endergebnis gekommen.

Answer 1

= 0,5*( 1*√(1+x²) + x* (1/2)*(1+x²)^-1/2 * 2x + der ln Teil

= 0,5*(√(1+x²)+( x^2 /√(1+x²) ) + ln Teil

und für den ln-Teil:

Ach ich sehe gerade, ist schon fertig