5/4(1-(1/5^n)+(1/5^{n-1}) Vollständige Induktion

Question

Ich bin beim Induktionsschluss und muss von dieser form :

5/4 (1- (1/5^n) + (1/5^{n-1})

auf diese :

5/4 (1- (1/5^{n+1})

kommen.Kann mir jemand helfen wie ich anfangen könnte?habe schon einiges versucht und hab keine ideen mehr.

Vielen Dank

Comments

Geht nicht. Da muss vorher der Fehlerteufel zugeschlagen haben.

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Kannst ja mal n=1 einsetzen und probieren, ob es aufgehen würde ...

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Ich habe 1 eingesetzt und es kommt was falsches raus .

Das ist die Aufgabe

∑(k=1 bis n) ( (1/5^{k-1}) )  =  5/4 (1- (1/5^n))

Habs versucht nachzuvollziehen, aber ich verstehs nicht.Wo liegt mein Fehler?

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Ohne Deinen Rechenweg zu kennen, wird Dir niemand erklären können, wo Dein Fehler liegt ...

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Induktionsanfang:  n=1

∑(k=1 bis 1) ( (1/5^k-1) )  = 1

5/4 (1- (1/5¹))  = 1

Induktionsannahme

Es gelte für ein n ε ℕ

∑(k=1 bis n) ( (1/5^k-1) )  =  5/4 (1- (1/5ⁿ))

Induktionsschluss:

Zum zeigen : ∑(k=1 bis n+1) ( (1/5^k-1) )  =  5/4 (1- (1/5ⁿ⁺¹))

Dazu :

∑(k=1 bis n+1) ( (1/5^k-1) )    =     ∑(k=1 bis n) ( (1/5^k-1) )   +   1/5^{k-1}

=     5/4 (1- (1/5ⁿ))                    +   1/5^n-1

Answer 1

∑(k=1 bis n+1) ( (1/5^k-1) )    =     ∑(k=1 bis n) ( (1/5^k-1) )   +   1/5ⁿ 
Du musst ja n+1 bei  k einsetzen.

5/4 (1- (1/5ⁿ))                    +   1/5ⁿ  
  5/4 - 5*1/ 4*5ⁿ                 +   1/5ⁿ
  5/4 - 1/ 4*5^n-1                 +   4/ 4*5ⁿ 
5/4 - 1/ 4*5^n-1                 +   4/ 4*5ⁿ 
5/4 - 5/ 4*5ⁿ                 +   4/ 4*5ⁿ  

5/4 - 1/ 4*5ⁿ          

5/4 - 5/ 4*5ⁿ⁺¹   
5/4*(    1- (1/5ⁿ⁺¹))      
q.e.d.

Comments

Vielen dank für die hilfe

was ich nicht ganz verstehe ist was sie von zeile 2 bis 5 gemacht haben. das einzige was sich doch verändert ist doch das sie den rechten term mit 4 erweitert haben oder?

2. frage: warum wird der mittlere term erst im nenner eine -1 hinzugefügt und danach wieder weggenommen?macht doch keinen unterschied oder?

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was ich nicht ganz verstehe ist was sie von zeile 2 bis 5 gemacht haben. das einzige was sich doch verändert ist doch das sie den rechten term mit 4 erweitert haben oder?

und gleichzeitig den zweiten mit 5 gekürzt

2. frage: warum wird der mittlere term erst im nenner eine -1 hinzugefügt und danach wieder weggenommen?macht doch keinen unterschied oder?

stimmt, das hätte man gleich so lassen können.