Zeigen sie,dass a ein Attraktor ist.

Question

Hallo.
Ich bearbeite folgende Aufgabe:
1. Geben sie die Defintion eines Attraktors an.

2.Sei f∈ C² (Rⁿ) , v = - grad f und sei a ∈Rⁿ die einzige Nullstelle von v und  globales Minimum von f mit f(a)=0. Zeigen sie, dass a ein Attraktor ist.

Zu 1. haben wir:

a∈ V mit v(a)= 0 heißt kritischer Punkt des Vektorfelds a.

Ein kritischer Punkt a∈ V heißt Attraktor, wenn es eine Umgebung W⊂V von a∈V gibt, für die gilt:
Jede maximale Integralkurve φ zu v mit φ(0) ∈W ist auf ganz R₊ definiert und φ(t) = a für t ->∞.

Wie kann ich jetzt 2. zeigen?

Ich habe bereits:

a ist ein kritischer Punkt, da Minimum von f   => v = - grad f(a) = 0.

(Wir haben auch noch gesagt, dass wenn v die  Form v=A*x hat und die Eigenwert von A negativen Realteil haben, so ist a ein Attraktor. Kann ich das irgendwie anwenden?)

Ich weiß nicht wie ich weiter machen soll.

Comments

Tipp: \(f\) ist eine Ljapunov-Funktion.

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Oh stimmt. Also muss ich nur noch zeigen,dass (grad f * v) echt kleiner als 0 ist(außer für a)?

Also hätte ich: - (grad f)^2

Aber ich habe dann doch eine Matrix. Reicht es dann, dass jedes Element echt kleiner als 0 ist?

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\(f\) ist eine Funktion von \( \mathbb{R}^n \) nach \( \mathbb{R} \), also ist \( \nabla f \) ein Vektor (Ljapunov-Funktionen sind übrigens immer skalare Funktionen). Und ja du musst zeigen, dass die Richtungsableitung von \(f\) in Richtung des Vektorfeldes \(v\) immer kleiner als \(0\) ist (außer im kritischen Punkt). Es gillt (ganz allgemein übrigens):

$$ \partial_{v(x)} f(x) = \underbrace{\langle \nabla f(x),~v(x)\rangle}_{\text{Skalarprodukt}} =  \langle \nabla f(x),~-\nabla f(x))\rangle= - \| \nabla f(x) \|^2$$

und die Norm ist nur dann 0, wenn der Vektor 0 ist und das ist nur im kritischen Punkt der Fall, denn dieser ist ein isoliertes Minimum von \(f\). Also ist sonst die Richtungsableitung von \(f\) entlang des Vektorfeldes echt kleiner 0 wegen dem Minuszeichen.

Um den Satz von Ljapunov anwenden zu können musst du jetzt noch zeigen/begründen, dass \(v\) lokal Lipschitz-Stetig ist.

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Und Lipschitz-stetigkeit folgt aus f∈ C² oder nicht?

Dann war die erste DGL-Klausur ja mega einfach...

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Genau, man sollte an der Stelle dann noch erwähnen, dass wegen \( v = -\nabla f\) aus \(f \in C^2 \) nämlich \(v \in C^1 \) folgt.

Ja die war echt ein Geschenk :D Die einzige größere Fehlerquelle war das lineare System mit den komplexen Eigenvektoren etc