Lineare Gleichungssysteme mit der Matrix-Schreibweise

Question

ich brauche Unterstützung bei den folgenden zwei Aufgaben:

1.) Untersuchen Sie, Welche Werte für den Parameter (a) gelten, damit das Gleichungssystem keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen hat (Lösungsmenge angeben).

I)    x+3y-2z=1

II)   2x+5y-z=1

III)  3x+ay+3z=a

Mein Lösungsansatz:

1           3            -2        1            I*(-2) + II ; I*(-3)+III

          2           5            -1        1

3           a             3        a

          1           3            -2        1

0          -1             3       -1            II*3 + I   ; II*(-9+a) + III

0        (-9+a)        9      (-3+a)

1          0              7        -2

0         -1              3        -1

0          0      (-18+3a)     6            III*7 + I*(18-3a) ; III*3 + II*(18-3a)

(18-3a)       0              0      (6+6a)                   unendlich viele Lösungen : a = -6  ;  a = -3

0      (-18+3a)      0        3a                       eine Lösung                       : a ungleich 6

0          0         (-18+3a)   6                       keine Lösung                     : a = 6

Nun ich bin mir unsicher, ob dieses System überhaupt unendlich viele Lösungen aufweisen kann.

Allgemein: woran erkenne ich unendlich viele Lösungen? Müsste in diesem Fall 0   0   0   0 stehen oder kann es auch so aussehen  0   Zahl    0     0  ?

2.) Es wird nach der Lösungsmenge gefragt und ob es auch möglich ist, für x y und z nur natürliche Zahlen zu verwenden.

I)        x      +       y       +      z        = 9

II)     -2x      +       y       +     2z       = 12

Mein Lösungsansatz:

I)      x        +       y       +      z        = 9              (1)  I*2 + II     ;  (2)   I*(-1) + II    ; (3)   I*(-2)

II)    -2x       +       y       +     2z       = 12

(1)  3y + 4z = 30  -->  z = -3/2 + 15/2                      Einsetzungsverfahren: (a) z in x ;  (b) x in y

(2) -3x + z   = 3    -->  x = 1/3z  -1

(3) -4x -1y   = -6   -->  y = -4x + 6

(a)  x = 1/3 (-3/4y + 15/2) -1

      x = -1/4y + 3/2

(b)  y= -4 (1/4y + 3/2)

y = -7                  --> x = -1/4 (-7) + 3/2 --> x = 3,25    --> z = -3/4 (-7) + 15/2 --> z = 12,75

Lösungsmenge: L= {x = 3,25 ; y = -7 ; z = 12,75}

Ist das bis hierhin richtig?

Nun weiß ich nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll (eine Lösung, die nur aus natürlichen Zahlen besteht)

Gibt es dazu eine simple Möglichkeit das herauszufinden?

Answer 1

Nun ich bin mir unsicher, ob dieses System überhaupt unendlich viele Lösungen aufweisen kann.

Kann es nicht! Denn die letzte Zeile der Matrix war ja:

0          0      (-18+3a)     6

Das wäre die Gleichung

(-18+3a)*x3 =     6

und für a=6 gibt das   0*x3=6   also keine Lösung

und für a ungleich 6          x3 =   6 /   (-18+3a)

unendlich viele gäbe es bei   0*x3=0, aber das kann ja nicht entstehen.

zu 2)

1      1    1        9
-1     1    2      12    | + 1. Zeile

1      1    1        9
0      2     3      21

Und eigentlich fehlt sowas wie die 3. Zeile. Deshalb ist das z

ganz beliebig wählbar, also irgendeine Zahl

Dann gibt 2y + 3z = 21  aber   y =  (21 - 3z) / 2

und damit in der 1. Gleichung

x   +  (21 - 3z) / 2  +  z   = 9

x =   ( -3+z) / 2

also insgesamt    x =   ( -3+z) / 2        y =    (21 - 3z) / 2        z = z

und wenn das alles ganze Zahlen sein sollen kann z.B. z=1 sein, dann wäre

es   x= -1     y = 9     z= 1