Berechnen Sie das Integral mit dem Hauptsatz

Question

Aufgabe steht oben.

Folgende Integralrechnungen verstehe ich nicht.

Integral von -1 bis 1  1/2(x+1)^3 dx

Integral von 0 bis 1    1/2e^2x dx

Integral von -1 bis 0   1/(2x-1)^2 dx

Vielen dank für eure Hilfe

Comments

1/2e^2x

ist gemeint
1/2 * e^{2x}
oder
1 / (2*e^{2x} )

Answer 1

Aufgabe 1  ----->  1  bis - 1

x^4+4x³+6x²+4x  /8  ------->   F(a) -F(b)  ------> ( 1+4+6+4 / 8 ) - ( 1-4+6-4  /8) =  15 / 8 - ( -1/8 ) =  16/8  =  2  !!

Answer 2

Ich nehme mal an, dass bei a) und b) nur die 2 unter dem Bruchstrich steh.

Integral von -1 bis 1  1/2 (x+1)³ dx

Stammfunktion müsste ja in etwa (x+1)^4 sein. Ableiten:

(x+1)^4 ' = 4(x+1)^3 * 1

Nun (x+1)^4 noch mit konstantem Faktor 1/8 korrigieren.

Integral von -1 bis 1  1/2 (x+1)³ dx = 1/8 (x+1)^4 | _(-1)¹

= 1/8 * 2^4 - 1/8 * 0^4 = 1/8 * 16 = 2

Integral von 0 bis 1    1/2 e^2x dx

Versuch mit G(x) = e^{2x} → g(x) = 2*e^{2x}

Mit Faktor 1/4 korrigieren.

Integral von 0 bis 1    1/2 e^2x dx = 1/4 e^{2x} |₀¹ = 1/4* e^2 - 1/4 * 1 = 1/4 (e^2 -1)

Integral von -1 bis 0   1/(2x-1)² dx

= Integral von -1 bis 0   (2x-1)^-2 dx

Versuch G(x) = (2x-1)^{-1} hat Ableitung (-1)*(2x-1)^{-2} * 2 = -2 * (2x -1)^{-2}

Korrigieren mit Faktor (-1/2)

Integral von -1 bis 0   1/(2x-1)² dx

= Integral von -1 bis 0   (2x-1)^-2 dx

= -1/2 (2x-1)^{-2}    |_-1⁰

= -1/2 (-3)^{-2} - (-1/2)(-1)^{-2}

= - 1/18  + 1/2 = -1/18 + 9/18 = 8/18

Obige Rechnungen ohne Gewähr. Unbedingt genau nachrechnen.