Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,5x^2(x^2-4)

Question

a.) Wie groß ist die Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt?

Und bitte mit Erklärung wie man auf die Rechnung kommt.

Comments

Weißt du die obere bzw. untere Grenze ? :D

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Ich denke das sollst du berechnen (Nullstellen) das sind doch dann die Intervallgrenzen?

Ich mache mal eine Antwort

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ne, nur das was ich hingeschrieben habe steht da

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das mit den nullsteilen habe ich ja. Dass dies meine Integralgrenzen sind weiß ich ja aber es kommen immer andere Ergebnisse raus als das eigentliche.

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Was sollst du denn als Lösung raus bekommen? 

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$$A=-2\cdot\int_0^2f(x)\,\mathrm dx.$$

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ungefähr 4,27

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$$\text{Genauer: }A=\frac{64}{15}.$$

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und wie kommt man auf dieses Ergebnis? Ich brauch eine Erklärung dazu..

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Bestimme eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) und berechne \(A=-2\cdot\big(F(2)-F(0)\big).\)

Answer 1

Hi!

Mir ist die Integralrechnung selbst noch nicht ganz vollständig erschlossen, dennoch bemühe ich mich einer Antwort.

Die Intervallgrenzen liegen bei den Nullstellen, da die Fläche unter der x-Achse berechnet werden soll.

0,5x²(x²-4)=0

Die erste Nullstelle ist klar, (0|0), da das x vor der Klammer als Faktor reicht, um die gesamte Funktion = 0 zusetzen.

Für die nächsten beiden Nullstellen schauen wir uns die Klammer an.

(x²-4)= 0 

x² = 4 |√

x = ±2

Also sind Nullstellen x 2 / 3 = (±2|0)

Nun bestimmen wir die Stammfunktion F(x)

Wir leiten auf, aus (x²(x²-4) / 2) wird (x4 - 4x2 ) /2 und aufgeleitet :

∫f(x) dx = F(x) = x³ * (0,1x² -2/3 ) + C

Nun je 2 und -2 für x einsetzen

F(a)  - F(b)  = [2³ * (0,1*2² -2/3 ) + C]- [(-2)³ * (0,1*(-2)² -2/3 ) + C]

= 2,133 +C  - ( -2,1333 + C )

≈ 4,27

Gruß Luis 

Comments

Was soll denn | F(a) | - | F(b) | sein?

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Hi ! 
Wollte eigentlich den Betrag davon nehmen, habe aber gemerkt dass das Quatsch ist, da der Flächeninhalt auch im 3. Quadranten mitzählt.

Da der Flächeninhalt nicht " negativ "  sein kann, habe ich den Betrag des Ergebnis genommen, dabei ist dieses | F(a) | - | F(b) | falsch, habe es verbessert. 

Answer 2

Zuerst die Nullstellen bestimmen ! x² ausklammern  -----> x² (  0,5 x² -2)  ,  x² = 0  ,  x= 0 ist Nullstelle !

0,5x² -2 =  0 →  0,5 x²  = 2  ,  x =  ± √4    x=  ± 2

Nullstellen   x1 =  0  ,  x2  =  2  und x3 = -2 .

Integrieren : f(x) =  3x^5 - 20 x³  / 30  ,  +2  / -2  einsetzen und F ( a) - F (b) berechnen .

(96  - 160 ) /  30  -  (  -96 +160  / 30 )  = -64 / 30   - ( 64 / 30 )  =  - 128 / 30  =  - 64 / 15  =  -  4,26 FE !!