Definitionsbereich einer Gleichung (als Vereinigung von Intervallen)

Question

Aufgabe:

1. Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der folgenden Funktionen (stellen Sie ihn als Vereinigung von Intervallen dar).

a) \( f(x)=\frac{3}{7-x} \)

b) \( f(x)=\frac{x+7}{x^{2}-4} \)

c) \( f(x)=\frac{x^{2}-1}{x+1} \)

d) \( f(x)=\frac{5\left(x^{2}-1\right)}{x-1} \)

e) \( f(x)=\frac{x(x+1)}{|x|} \)

f) \( f(x)=\frac{1}{\left|x^{3}-1\right|} \)

g) \( f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{|x-2|}} \)

h) \( f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^{2}+2 x+1}} \)

2. Bilden Sie \( f+g, f \cdot g, f-g \) und \( \frac{f}{g} \) und bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der so entstandenen Funktionen.

Ansatz/Problem:

Ich habe die Angabe und auch meinen Lösungsweg als Bild unten angehängt. Es handelt sich um Beispiel h. In der Vorlesung wurde auf das Thema nicht eingegangen und auch kein Beispiel gerechnet aber in der Übung müssen wir es können und ich steh daher ziemlich auf der Leitung.

Könnte mir vielleicht jemand erklären ob mein Rechengang richtig ist und wenn nicht vielleicht den richtigen Rechengang erläutern?

Answer 1

√x / √(x^2 + 2x + 1)

= √x / √((x + 1)^2)

x darf selber nicht < 0 sein, da sonst die Wurzel im Zähler nicht definiert ist. Im Nenner darf nur nicht für x = -1 stehen, da sonst der Nenner 0 wird, was nicht erlaubt ist.

Somit ist der Definitionsbereich D = [0 ; ∞[

Wie habt ihr R⁺ definiert? Wir haben gesagt das sind die positiven reellen Zahlen. Die Null gehört nicht dazu. Die Null sollte aber auch in D enthalten sein. Weiterhin ist R⁺ in meinen Augen keine Intervallschreibweise. Die sollt ihr wohl benutzen.

Comments

Vielen Dank :) Also ist mit Vereinugung einfach nur gemeint das man Zähler und Nenner getrennt betrachten muss und dann diese 2 Definitionsbereiche zu einem vereinen soll.