Symmetrisch zum Ursprung f_(a)(x)=-5x*e^ (-a*x^2), (a≠0)

Question

Gegeben ist die Funktionsschar f_a mit f_a(x)=-5x*e^{-a*x^2} , (a ≠0).

a) Zeigen Sie, dass die Schaubilder für jedes a symmetrisch zum Ursprung sind.

b) Bestimmen sie Nullstellen und Wendepunkte in Abhängigkeit von a.

c) Jedes Schaubild hat einen Tiefpunkt. Bestimmen sie die Gleichung der Kurve, auf der alle diese Tiefpunkte liegen.

d) Das Schaubild von f₂, die x-Achse, die y-Achse, und die Gerade x = z (für z > 0) schließen eine Fläche ein. Für welchen Wert von z ist deren Flächeninhalt 1 FE groß?

Answer 1

a)

f_a(x)=-5x*e^-a*x2 

Symmetrie zum Ursprung weisst du nach, indem du f_a(-x) = -f_a(x) zeigst.

f_a(-x)=-5(-x)*e^-a*(-x)2 

=5(x)*e^-a*(x)2 

= f_a(x)

b) x = 0 ist die einzige Nullstelle, da der Faktor mit der Basis e nicht 0 sein kann.

Bis hier hin alles verstanden? Machst du selbst ein Stück weiter? 

Comments

Ja ich bräuchte es nur als Kontrolle ob ich richtig gerechnet habe.

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Ich glaube mathef hat den Rest gemacht. Kann sein, dass die Zeilenumbrüche etwas speziell dargestellt wurden. Aber zur Kontrolle deiner Resultate kannst du das sicher brauchen.

Answer 2

Gegeben ist die Funktionsschar f_a mit f_a(x)=-5x*e^-a*x2 , (a ≠0).

a) Zeigen Sie, dass die Schaubilder für jedes a symmetrisch zum Ursprung sind.

Es ist immer f ( - x ) = - f ( x) da in dem e-Term das minus durch das hoch 2 verschwindet.

b) Bestimmen sie Nullstellen und Wendepunkte in Abhängigkeit von a.

Nullstelle nur bei x=0

f '' ( x ) = -10 a x ( 2 a x^2 - 3 ) * e^-a*x2       also f ' ' (x) = o für x=0 und   2ax^2 - 3 = 0

x^2 = 1,5/a

x =  ±wurzel ( 1,5/a )

c) Jedes Schaubild hat einen Tiefpunkt. Bestimmen sie die Gleichung der Kurve, auf der alle diese Tiefpunkte liegen.      f ' (x) = ( 1o a x^2 - 5 ) * e^-a*x2      

also  Extremwerte für   ( 1o a x^2 - 5)  * e^-a*x2      = 0

1o a x^2 = 5

x = ± wurzel( 1/2a)

und f ' ' ( wurzel( 1/2a) ) = 10 * wurzel(2/a)*e ^-0,5   > 0 also hier der Tiefpunkt

mit x= wurzel( 1/2a)   und y = 2,5 * wurzel(2/a) * *e ^-0,5   also

2*   x =2* wurzel( 1/2a)  =   wurzel ( 4/2a ) = wurzel(2/a)

also kannst du für wurzel(2/a) einfach 2x einsetzen und hast  y = 2,5 *2x *e ^-0,5  als Gleichung

der Tiefpu.kurve.

d) Das Schaubild von f₂, die x-Achse, die y-Achse, und die Gerade x = z (für z > 0) schließen eine Fläche ein. Für welchen Wert von z ist deren Flächeninhalt 1 FE groß?

Integral von 0 bis z über -5x*e^-2*x2    dx  = [    5/4  * e^-2*x2   ] von o bis z gibt

5/4  * e^-2*z2  - 5/4

Das gleich 1 oder - 1 (hier macht nur -1 Sinn) gesetzt  gibt   5/4  * e^-2*z2  - 5/4  =  -1

5/4  * e^-2*z2  = 1/4

e^-2*z2  =1/5

-2z^2 = ln(1/5) ungefähr -1,6

z^2 = 0,8  also z= wurzel(0,8)