Eine Ei-Aufgabe zu Ostern: Wie groß ist das Volumen vom Osterei?

Question

Der Querschnitt des Oster-Eis besteht aus Kreisbögen um A, B, M, N.

Es entsteht durch Rotation um die Symmetrie-Achse.

Wie groß ist das Volumen ?

(Eine Einheit  =  1 cm)

Answer 1

Das Osterei drehe ich um 90 °

M ist der Ursprung des Koordinatensystems.
Der linke Teil ist eine Halbkugel.
Das Volumen  dürfte klar sein.

Rechts folgt ein Kreissegment mit der Formel
6^2 =  x ^2 + ( y +3 )^2
( nach y umstellen )
Die Gerade BN ist der Term bn ( x ) = x - 3
Der Schnittpunkt S liegt bei x = 3 * √ 2

Weiter rechts folgt ein kleiner Kreis
Radius NS = √ [ 2 * ( 3 * √ 2 - 3 )^2 ]
Kreisgleichung
NS^2 = ( x - 3 )^2 + y^2

Damit dürften die Funktionen im rechten Teil ermittelt worden.

Jetzt geht´s ans integrieren usw.

Es ist noch etwas Arbeit zu leisten wenn man auf diesem Weg
zum Ziel kommen will.

mfg Georg

Comments

Eigentlich kann man auch die Formel für die Kugelabschnitte nehmen. Das dürfte leichter sein als das Integrieren. Wobei mir das egal war, weil im Zweifel macht das Wolframalpha.

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Hier die Skizze der beiden Kreise

Die Teilkreise haben die Funktionen
blau = √ ( - ( x^2 - 36 ) )  - 3
rot = 0.5 * √ ( - x^2 * 4 + 24 * x - 23.65 )
Radius rot = 1.76
Schnittpunkt rot mit x -Achse = 4.76

A_blau = blau^2 * π
V_blau = ∫ A_blau dx  von x = 0.. 3 √ 2

Für rot entsprechend.
A_rot = rot^2 * π
V_rot = ∫ A_rot dx  von x = 3 √ 2  .. 4.7574

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Teilvolumen
56.55 ( Halbkugel )
83.69
1.31
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141.55 ( siehe Lösung mathecoach )

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Interaktiver Graph nachgereicht:

~plot~(-(x-6)*(x+6))^0.5-3;0,5*(-4*x^2+24*x-23,64675298)^0,5;[[-4|8|-4|4]]~plot~

;-)

@georgborn: Respekt, toll gelöst!

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Besser wäre es allerdings man hätte die Lösung vom
Mathecoach drauf.
Das sieht nach etwas weniger Arbeit aus.

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Nein, das wäre nicht besser.

Deine Antwort ist zu Recht als beste ausgezeichnet worden.

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Glaubt nicht das ich die Gleichung einfach so runtergeschrieben habe. Auch dort gehören Vorüberlegungen für die Funktionen dazu.

Wenn ich es per Hand gerechnet hätte dann hätte ich sicher mit Kreisabschnitten gerechnet und nicht mit Integralen.

Mein Ziel war es nur eine Kontroll-Lösung zu liefern. Ich sag immer: Wenn zwei Dumme unabhängig voneinander auf das gleiche Ergebnis kommen, dann spricht schon viel dafür das die Antwort richtig sein könnte :)

Außerdem wollte ich die Aufgabe nicht selber rechnen sondern habe sie wiederum als Osteraufgabe meinen Schülern aus der Oberstufe gegeben. Allerdings mit der Lösung (nur Endergebnis) zur Selbstkontrolle.

Daher bin ich dankbar das ich nun weiß, dass meine Rechnung und mein Endergebnis wohl richtig ist.

Nun bin ich gespannt wer von meinen Schülern das mit einem Integral oder mit Kugelabschnitten rechnen kann.

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Nun bin ich gespannt wer von meinen Schülern das mit einem Integral oder mit Kugelabschnitten rechnen kann.

Pech nur, dass der mittlere Teil gar kein Kugelabschnitt ist.

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Stimmt. Also doch Rotationsintegral. Da gab das übrigens eine schöne Näherungsformel für wie man das Rotationsintegral sehr leicht per Hand abschätzen kann.

Leider müsste ich mir die mal wieder herleiten, weil ich die nicht mehr auswendig weiß.

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Der Kommentar wurde wieder zurückgenommen.

Answer 2

Hallo Tanya,

es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten :

1) mit Wurzelfunktion

2) Viertelkreis und Ellipse

3) Viertelkreis und 2 Kreisbögen

4) Logarithmusfunktion

5) Potenzfunktion

6) Polynom 4.Grades

Die Ergebnisse 1-6 unterscheiden sich in etwa um 6 % !

Möchtest du mehr wissen ?

142 cm³ kann ich bestätigen .

Comments

@mathe49
Das Ei mit 3 Kreisfunktion, siehe meine Antwort, darzustellen
ist aber 100 % exakt.

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stimmt ! Ich habe 3 Möglichkeiten durchgerechnet und diese Abweichung festgestellt.

Answer 3

Bin mir nicht sicher. Vielleicht hat jemand Lust es gegen zu rechnen.

∫(pi·(9 - x^2), x, -3, 0) + ∫(pi·(√(36 - x^2) - 3)^2, x, 0, 3·√2) + ∫(pi·√(- x^2 + 6·x - 36·√2 + 45)^2, x, 3·√2, 9 - 3·√2)

= - 9·pi·(3·pi + 40·√2 - 71) = 141.6 cm³

Comments

Einen großen Dank an Georg, der sich die Mühe gemacht hat das alles detailliert nachzurechnen und mein Ergebnis bestätigt hat.

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Ich bin, wie bekannt, nicht ganz uneigennützig hier im Forum.
Ich beschäftige mich mit den Aufgaben um geistig fit zu bleiben.

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ich wünschte, ich wär mal so klug - ich bin gerade mal halb so weit wie Georg gekommen, und dann hab ich aufgegeben. Ich hab es nicht auf die Reihe gekriegt, da gescheite Funktionen aufzustellen, weshalb das mit dem Rotationsintegral auch gar nicht erst zustande gekommen ist ;-)

Aber ich bin ja erst Zehntklässlerin, habe also noch etwas Zeit ;-)

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Die Kreisgleichung hat die Form

(x - Mx)^2 + (y - My)^2 = r^2

Mittelpunkt und Radius ist ja für alle Kreise bekannt. Dann kann man das nach y auflösen

y = √(r^2 - (x - Mx)^2) + My

Die positive Wurzel gibt die obere Kreishälfte. Das langt uns aber hier. Damit muss man dann nur nach das Rotationsintegral aufstellen. Das braucht aber eine 10. Klässlerin noch nicht.

V = pi·∫ (a bis b) f(x)^2 dx

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Danke, die Formel für die Integrale kenne ich aber (sowohl Rotation um x- als auch um y-Achse, dann auch für bestimmte Bedingungen). Mein Erster Plan, den ich hatte, war:

=> Volumen für die Halbkugel: V₁ = 18π

=> M sei der Koordinatenursprung, somit ist AB ein Teil der x-Achse, durch den Strahl MN verlaufe die y-Achse. A und B seien die Integrationgrenzen. Man ermittle die Punkte, in denen der Viertelkreis oben in die Achtenkreise übergehe, dort ändert sich die Funktionsvorschrift

-> Als Annäherung wäre eine Parabelmeine Idee gewesen, allerdings würde der entstehende Parobolid und damit das Ergebnis vermutlich zu weit abweichen...

-> Rotationsintegral um die y-Achse mit den Bedingungen:

a) x = a und x = b sind Integrationsgrenzen (trifft zu)

b) x-Achse, x = a und x = b begrenzen das Volumen (trifft zu)

Daraus folgt:

$$ { V }_{ 2 } = 2π \cdot \int_{a}^{b}(x \cdot f(x)) dx$$

Dann entsprechend alles einsetzen und berechnen.

So ginge es rein theoretisch auch, oder habe ich irgendwo einen Denkfehler? Ich kann es ja mal ausrechnen und schauen, was ich raus bekomme....

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Hallo soso,

ich möchte dich nochmals auf meine Lösung verweisen
bei der die Kurvenfunktion aus 3 Kreisgleichungen besteht

Da ich nichts um die y-Achse rotieren lassen kann, habe ich
das Osterei um 90 ° gedreht.

1. 3^2 = x^2 + y^2
2. 6² =  x ² + ( y +3 )²
3. beim kleinen Kreis muß der Radius r zunächst berechnet
werden, dann ergibt sich
r^2 = ( x - 3 )^2 + y^2

Für mich ist es so am einfachsten.
Für die Ausrechnungen wurde ein Matheprogramm eingesetzt.

Answer 4

Ich würde auch an Georgs Lösung anknüpfen.

Mit den Koo von S bekommt man wohldie Werte für

r und h für die rechte Kugelkappe

Und das mittlere Stück erhält man durch Rotation von f(x)=-3 + wurzel(36 - x^2 ) um die

x-Achse in den Grenzen von 0 bis 3wurzel(2).

Da bekomme ich pi*(117*wurzel(2) - 27pi - 54