Mengenlehre (Aufgabe1) f(AuB) = f(A) u f(B) ... zeigen.

Question

könnt ihr mir sagen wie ich was hier machen soll? Könnt ihr mir eine Beispiel Aufgabe mit Rechenweg zeigen?

  Aufgabe: Gegeben sind die Mengen \( N \) und \( M \) sowie die Abbildung \( f: N \longrightarrow M . \)
Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen \( A, B \subseteq N \) gilt:

(a) \( f[A \cup B]=f[A] \cup f[B] \)

(b) \( f[A \cap B] \subseteq f[A] \cap f[B] \)

(c) ist \( f \) injektiv, so gilt in (b) das Gleichheitszeichen.

Comments

"Rechenweg"

Frisch aus der Schule? ;)

Answer 1

(a)

Gleichheit von Mengen zeigt man doch immer so:
Sei z aus der 1. Menge,  dann muss es in der 2. sein und umgekehrt.

Also bei (a).

Sei z aus  z aus f( A ∪ B) , dann gibt es x aus A ∪ B mit f(x) = z.

und da x aus A ∪ B ist , gilt also  x aus A   oder   x aus B,

dann ist aber f(x) aus f(A)   oder es ist   f(x) aus f(B)

also f(x) [ und das ist ja das z] aus mindestens einem von beiden

und damit    z aus f( A )  ∪ f ( B)

umgekehrt:

Sei z aus f( A )  ∪ f ( B), dann ist z aus f(A) oder es ist z aus f(B).

also gibt es entweder ein x1 aus A mit f(x1) = z oder es gibt

ein x2 aus B mit f(x2) = z

Da sowohl x1 als auch x2 in A ∪ B  sind, ist also jedenfalls

z aus f( A ∪ B).

Probiere doch b und c so ähnlich.