Prüfen ob Unterraum von K^n?

Question

Ist { x∈ IK^n | 1x_(1) + 2x_(1)+...+(n-1)x_(n-1) + nx_(n)  = nx_(1) + (n-1)x_(2) + ... +1x_(n) } stets ein Untervektorraum von K^{n}? wobei n∈IN

Ein Beispiel wäre für x∈K^3: 1x_(1) + 2x_(2) + 3x_(3)  = 3x_(1) + 2x_(2) + 1x_(3)

1) U ist hier nicht leer, es enthält den Nullvektor.

2) Sei u=(1,1,1)^tr und v=(1,0,1)^tr. Es gilt u,v∈U und u+v ∈ U.

3) Die Skalare von u und v sind ebenfalls in U

Stimmt das denn?

Answer 1

mit dem Beispiel kann man zwar probieren, aber
ein Nachweis ist das nicht.

Die Bedingung

1x₁ + 2x₂+...+(n-1)x_n-1 + nx_n  = nx₁ + (n-1)x₂ + ... +1x_n

(1-n)x₁ + (2-n+1)x₂+...+ (n-1)xn  = 0

und damit kannst du das auch allgemein zeigen:

wenn z.B. (y1,...,yn) auch die Bedingung erfüllt, also

(1-n)y₁ + (2-n+1)y₂+...+ (n-1)yn  = 0

dann kannst du die Glöeichungen addieren und umformen zu

(1-n)(x₁ +y1) + (2-n+1)(x₂+y2) +...+ (n-1)(xn +yn) = 0

und dann siehst du, dass die Summe der beiden n-Tupel auch die Bedingung erfüllt.

wenn du ein n-Tupel mit a multiplizierst, und willst die Bedingung prüfen, dann steht überall

ax1,  ax2    axn   etc.

klammerst du a aus und hast

a*       ((1-n)x₁ + (2-n+1)x₂+...+ (n-1)xn ) = 0

und wenn die Klammer 0 ist, stimmt das nat. auch.

Answer 2

ja es handelt sich stets um Hyperebene von \(\mathbb{K}^n \).

1) bis 3) sind richtig, da \( U\) ein UVR ist und \( u,v \in U\) gilt (den zweiten Teil kannst du ja einfach durch einsetzen zeigen).

Gruß

Comments

Das reicht aber leider nicht als Beweis, siehe meine Antwort.

---

Was reicht nicht als Beweis?

Du hast wahrscheinlich die Vermutung, dass der Fragesteller mit dem Beispiel kläglich versucht hat die allgemeine Aussage zu beweisen. Darauf wird aber in meiner Antwort überhaupt nicht eingegangen. Dein Kommentar hat hier also nix zu suchen und sollte unter der Frage stehen.

---

Das,was der Fragesteller geschrieben hat bezüglich der Axiome. Die Aufgabe ist ja "Prüfen,ob Unterraum des K^n". Da muss man etwas mehr machen als Beispiele zu suchen,für die die Axiome stimmen oder nur sagen,dass die Axiome erfüllt sind.

---

Wie gesagt, sowas sollte nicht bei mir stehen sondern beim Fragesteller. Nächste mal bitte besser schauen.

---

"1) bis 3) sind richtig"
Bezogen auf die Aufgabenstellung sind 1 bis 3 nämlich so nicht komplett richtig. Deswegen steht das bei dir.

---

Quatsch, unabhängig von der Aufgabenstellung sind 1) bis 3) "richtig" (sie beziehen sich ja aufs Beispiel!). Meine Antworten sind keine Gedichte, also sollte man auch nicht versuchen zu interpretieren.

Answer 3

Richtig ist,dass du die Axiome zeigen musst.

Aber, du musst das die Axiome viel allgemeiner zeigen(außer 1.)

1. Zeige auch wirklich,dass z.b. der Nullvelktor in der Menge liegt in der Menge liegt. Also einfach (0,0,0,...0) einsetzen und zeigen,dass die Gleichung erfüllt ist.

2. Du brauchst zwei allgemeine beliebige Elemente u,v aus der Menge, das heißt du musst dies für u= (x1,x2,x3...xn) und v = (v1,v2,v3,v4...,vn) zeigen.

3. Wieder richtiges Axiom,aber du musst es viel allgemeiner zeigen. Zeige, dass für a*u wieder die Gleichung gilt.

Tipp:Für 2. und 3. ausklammern.